Метод парных сравнений

Метод парных сравнений основан на попарном сравнении альтернатив. Для каждой пары альтернатив эксперт указывает, какая из альтернатив предпочтительнее (лучше, важнее и т. д.). Существует ряд алгоритмов, реализующих метод парных сравнений: они различаются по количеству используемых экспертных оценок (индивидуальные и коллективные оценки), по шкалам сравнения альтернатив и т. д. Ниже рассматриваются два алгоритма, реализующие метод парных сравнений.

Алгоритм Саати

Алгоритм основан на сравнении альтернатив, выполняемом одним экспертом. Для каждой пары альтернатив эксперт указывает, в какой степени одна из них предпочтительнее другой.

Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.

Пример. Предприятие выбирает основной вид рекламы для новой продукции. Предлагаются четыре возможных вида: реклама на телевидении (обо-значим ее как А1), на радио (А2), в газете (А3), на стендах (А4). Решение о выборе вида рекламы принимается на основе консультации с экспертом.

Принятие решения на основе алгоритма Саати выполняется в следующем порядке.

1. Экспертом заполняется матрица парных сравнений размером NxN, где N — количество альтернатив. Матрица заполняется по правилам, приведенным в табл.3.2.

Таблица 3.2

Правила заполнения матрицы парных сравнений для метода Саати

Xij

Значение

1

I-я и j-я альтернативы примерно равноценны

3

I-я альтернатива немного предпочтительнее j-й

5

I-я альтернатива предпочтительнее j-й

7

I-я альтернатива значительно предпочтительнее j-й

9

I-я альтернатива явно предпочтительнее j-й

Если i-я альтернатива менее предпочтительна, чем j-я, то указываются обратные оценки (1/3, 1/5, 1/7, 1/9). Могут использоваться промежуточные оценки (2, 4, 6, 8 и 1/2, 1/4, 1/6, 1/8); например, если i-я альтернатива совсем немного лучше j-й, то можно использовать оценку Xij=2 (тогда Xji=1/2). На главной диагонали ставятся единицы.

Пусть эксперт заполнил матрицу парных сравнений следующим образом (табл.3.3).

Таблица 3.3

А1

А2

А3

А4

А1

1

7

3

9

А2

1/7

1

1/5

3

А3

1/3

5

1

5

А4

1/9

1/3

1/5

1

Здесь, например, элемент X14=9 означает, что реклама на телевидении, по мнению эксперта, явно более эффективна, чем реклама на стендах. Элемент X23=1/5 означает, что реклама на радио менее эффективна, чем реклама в газетах. Элемент X24=3 означает, что реклама на радио немного более эффективна, чем реклама на стендах.

2. Находятся цены альтернатив — средние геометрические строк матрицы:

i=1,…,N,

Т. е. элементы строки перемножаются, и из их произведения извлекается корень N-й степени.

Для данного примера:

C3=1,7, C4=0,29

Примечание. Для упрощения расчетов в качестве цен альтернатив можно использовать суммы строк матрицы сравнений.

3. Находится сумма цен альтернатив:

В данном примере C = 3,71+0,54+1,7+0,29 = 6,24.

4. Находятся веса альтернатив:

Vi = Ci/C, i=1,…,N.

V1 = 3,71/6,24 = 0,595; V2 = 0,4/6,24 = 0,087; V3 = 1,7/6,24 = 0,272; V4 =

= 0,29/6,24 = 0,047.

Наиболее предпочтительной, по мнению эксперта, является альтернатива, имеющая максимальный вес.

Таким образом, по мнению эксперта, наиболее эффективной является реклама на телевидении; следующая за ней — реклама в газетах, менее эффективна реклама на радио, наименее эффективна реклама на стендах.

Для данного метода возможна Проверка экспертных оценок на непротиворечивость. Проверка позволяет выявить ошибки, которые мог допустить эксперт при заполнении матрицы парных сравнений. Ошибки (противоречия) могут быть следующими: например, эксперт указывает, что 1-я альтернатива хуже 2-й, 2-я хуже 3-й, и в то же время 1-я альтернатива лучше 3-й. Рассмотрим проверку на непротиворечивость для задачи о выборе вида рекламы.

1. Находятся суммы столбцов матрицы парных сравнений:

j=1,…,N.

R1= (1+1/7+1/3+1/9) = 1,588; R2 = 13,333; R3 = 4,4; R4 = 18.

2. Рассчитывается вспомогательная величина l путем суммирования произведений сумм столбцов матрицы на веса альтернатив:

.

L=1,588×0,594 + 13,333×0,087 + 4,4×0,272 + 18×0,047 = 4,07.

3. Находится величина, называемая индексом согласованности (ИС):

ИС = (l-N)/(N-1).

Для данного примера ИС = (4,07-4) / (4-1) = 0,023.

4. В зависимости от размерности матрицы парных сравнений находится величина случайной согласованности (СлС). Значения СлС приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Величины случайной согласованности

Размерность матрицы

3

4

5

6

7

8

9

10

СлС

0,58

0,90

1,12

1,24

1,32

1,41

1,45

1,49

В данном примере (для N=4) СлС=0,90.

5. Находится отношение согласованности:

ОС = ИС / СлС.

Если отношение согласованности превышает 0,2, то требуется уточнение матрицы парных сравнений.

В данном примере ОС = 0,023/0,9 = 0,024. Таким образом, уточнение экспертных оценок в данном случае не требуется.

Алгоритм парных сравнений для группы экспертов

Алгоритм основан на попарном сравнении альтернатив, выполняемом группой экспертов. Каждый из экспертов выполняет сравнение альтернатив независимо от других экспертов. Для каждой пары альтернатив эксперт указывает, в какой степени одна из них предпочтительнее другой.

Рассмотрим этот метод на следующем примере.

Пример. Предприятие, выпускающее металлоизделия, ищет способы снижения потерь из-за отходов металла. Предлагаются четыре способа: 1) изменить технологический процесс, чтобы снизить количество отходов (обозначим это решение как А1); 2) перейти на выпуск новых изделий, при выпуске которых отходы меньше (А2); 3) создать подсобное производство и использовать отходы в качестве сырья (А3); 4) продавать отходы (А4).

Решение принимается с участием трех экспертов.

Мнение первого эксперта: лучшее решение — создать подсобное производство; немного хуже — продавать отходы; значительно хуже — изменить технологический процесс; совсем плохое — перейти на выпуск новых изделий.

Мнение второго эксперта: лучшее решение — продавать отходы; немного хуже — изменить технологический процесс; еще хуже — создать подсобное производство; совсем плохое — перейти на выпуск новых изделий.

Мнение третьего эксперта: лучшее решение — создать подсобное производство; немного хуже — изменить технологический процесс; значительно хуже — продавать отходы; совсем плохое — перейти на выпуск новых изделий.

Выбор решения выполняется в следующем порядке.

1. Каждый из экспертов заполняет матрицу парных сравнений размером NxN, где N — количество альтернатив. Матрица заполняется по следующим правилам: элемент Xij указывает, в какой степени (по мнению эксперта) i-я альтернатива является более предпочтительной по сравнению с j‑й. Степень предпочтения указывается в долях единицы. Если i-я альтернатива лучше j-й, то Xij>0,5 (чем больше превосходство i-й альтернативы над j-й, тем ближе Xij к единице). Если i-я альтернатива хуже j-й, то Xij<0,5 (чем больше превосходство j-й альтернативы над i-й, тем ближе Xij к нулю).

Пусть эксперты заполнили матрицы парных сравнений следующим образом (оценки первого, второго и третьего экспертов — в табл.3.5, 3.6 и 3.7 соответственно).

Таблица 3.5 Таблица 3.6 Таблица 3.7

А1

А2

А3

А4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

А1

0,7

0,1

0,2

A1

0,9

0,6

0,4

A1

0,8

0,4

0,7

А2

0,3

0

0

A2

0,1

0

0

A2

0,2

0

0

А3

0,9

1

0,6

A3

0,4

1

0,3

A3

0,6

1

0,7

А4

0,8

1

0,4

A4

0,6

1

0,7

A4

0,3

1

0,3

2. Определяются оценки предпочтения альтернатив над другими по мнению каждого эксперта (суммы строк матриц).

Первый эксперт: =0,7+0,1+0,2 = 1, =0,3, =2,5, =2,2.

Второй эксперт: =0,9+0,6+0,4 = 1,9, =0,1, =1,7, =2,3.

Третий эксперт: =1,9, =0,2, =2,3, =1,6.

3. Определяются обобщенные оценки предпочтения альтернатив над другими (с учетом мнения всех экспертов):

С1 = 1 + 1,9 + 1,9 = 4,8; С2 = 0,3 + 0,1 + 0,2 = 0,6;

С3 = 2,5 + 1,7 + 2,3 = 6,5; С4 = 2,2 + 2,3 + 1,6 = 6,1.

4. Находится сумма всех оценок:

C = 4,8 + 0,6 + 6,5 + 6,1 = 18

5. Находятся веса альтернатив: V1= 4,8/18 = 0,27; V2= 0,6/18= 0,03;

V3 = 6,5/18= 0,36; V4 = 6,1/18 = 0,34.

Таким образом, по мнению экспертов, лучшее решение — создать подсобное производство; немного хуже — продавать отходы; хуже — изменить технологический процесс; явно худшее решение — перейти на выпуск новых изделий.

Оставить комментарий