Главная / Математический анализ / Формула остроградского-гаусса

Формула остроградского-гаусса

Теорема. Пусть — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана Внешняя сторона . Пусть — функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где Внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху — графиком функции , снизу , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим , т. к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .

Итак, .

Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, то ,и, при аналогичных условиях, .

Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .

Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел , разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть .

Тогда . Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты Внешние стороны поверхностей .

Поверхности имеют общую часть , причем их внешние нормали на Противоположны и интегралы по от взаимно сократятся, поэтому .

Тем самым, теорема доказана.

Оставить комментарий