Главная / Математический анализ / Поверхностные интегралы 1-го типа

Поверхностные интегралы 1-го типа

Пусть — двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть Поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где — непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции .

Замачание 1. Если поверхность задана уравнением , где — непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то . Аналогично, в случае задания поверхности уравнением при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где — непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .

Теоремы 1 и 2 мы оставим Без доказательства.

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где — граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус:

состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в Единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где — проекция на плоскость , т. е. — круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: (Якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Оставить комментарий