Главная / Математический анализ / Условный экстремум

Условный экстремум

Пусть дана функция и предположим, что переменные удовлетворяют уравнениям связи (1).

Определение. В точке , удовлетворяющей уравнениям (1) функция имеет условный минимум (максимум) если неравенство () выполняется в некоторой окрестности точки для всех точек , удовлетворяющих (1).

Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции и 2-х уравнений связи . Предположим, что обладают непрерывными частными производными, причем ранг матрицы равен 2. Для определенности, пусть . Тогда по определению теоремы о системе неявных уравнений , , где — непрерывные дифференцируемые функции и понятие условного экстремума функции совпадает с экстремумом функции . Стало быть, должны выполняться условия , , т. е. (2). Иными словами, , . Для нахождения воспользуемся уравнениями связи (3).

Из этой системы можно Линейно выразить и через и , что и дает искомое выражение для .

Есть, однако, специальный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без решения этой системы. По инвариантности формы дифференциала, условие равносильно условию , т. е. (4). Умножим уравнения (3) на и соответственно и сложим с (4): (5).

Выберем и так, чтобы коэффициенты при и одновременно обращались в 0. Это можно сделать потому, что определитель системы (6) не равен 0.

Тогда (5) примет вид , где — дифференциалы Независимых переменных. Поэтому и (7).

Таким образом, необходимые условия экстремума вспомогательной функции совпадают с уравнениями (6) и (7) и, тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума.

Достаточные условия получаются при исследовании 2-го дифференциала.

Пример 1. Найти экстремум функции при условии .

Дадим 2 решения этой задачи.

Решение 1 основано на том, что уравнение связи можно решить: и получить, соответственно, 2 функции от : , . Первая из них имеет максимум в точке , вторая – минимум в точке .

Решение 2. Строим . , .

При получаем , . При .

Выясним, что происходит в этих точках. С этой целью найдем . . Из условия следует , и в точке , т. е. . В точке , т. е. снова . Поэтому , и в точке получается: , т. е. максимум, а в точке – получается , т. е. минимум.

Оставить комментарий