Главная / Математический анализ / Приложения интеграла: площадь поверхности вращения

Приложения интеграла: площадь поверхности вращения

Пусть , – незамкнутая кривая, – непрерывные функции. Вращаем кривую вокруг оси . При этом получается поверхность вращения. Не входя в детали определения площади поверхности в общем случае – это будет сделано в курсе 4-го семестра, и считая, что площадь поверхности вращения существует и обладает свойством аддитивности, укажем формулу для ее вычисления: . Действительно, считая поверхность вращения малого участка кривой вокруг оси близкой к части поверхности усеченного конуса с основаниями и длиной образующей (как и в теореме о длине дуги), получим, что . Суммируя и переходя к пределу при , получаем требуемое.

Оставить комментарий