Главная / Математический анализ / Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Сходимость ряда

Теорема. Пусть — непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Геометрическая иллюстрация теоремы.

— площадь под графиком на отрезке от 1 до . — площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и — площадь “нижней лестницы”, под графиком.

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда .

Теорема. Сходимость ряда .

Ряду соответствует функция . сходится при и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при и расходится при .

Оставить комментарий