Пространство rn

Напомним, что Арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек , . Это — векторное пространство с операциями

.

Более того, это — евклидово пространство со скалярным произведением . Следовательно, определена Норма вектора , и расстояние между и , (1)

При и эта формула становится очевидной формулой для расстояния, поэтому общую формулу (1) для расстояния можно рассматривать как Естественное обобщение известных формул на случай -мерного пространства.

В курсе линейной алгебры было доказано:

, ; ; .

Свойство 3 называется Неравенством треугольника.

Определение. Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется Метрическим пространством, а Метрикой (или Расстоянием).

Итак, — метрическое пространство с расстоянием (1).

Определение. Окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее .

Определение. Пусть . Тогда называется Внутренней точкой этого множества, если .

Определение. Открытое множество, если все его точки — внутренние.

Примеры: интервал, круг без границы.

Определение. Пусть . Точка называется Предельной точкой , если .

Определение. называется Замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок, круг с границей.

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т. е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

Определение. Множество называется Компактным, если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, что можно выбрать конечное число так, что .

Иными словами, из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Теорема. компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т. е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

Оставить комментарий