Главная / Математический анализ / Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Пусть определена в некоторой окрестности точки , — точка из этой окрестности.

Определение. Величина называется Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента .

Определение. Функция называется Дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа и функции при , что (1).

Часто обозначают и . Тогда (1) перепишем в виде , .

При наше определение (1) совпадает с известным из материала 1-го семестра определением дифференцируемости . Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех переменных, кроме -той.

Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого равенство (1) дает при (2).

Поскольку при фиксированных значениях , равносильно тому, что , равенство (2) означает, что функция от одной переменной .

дифференцируема в точке и, значит, существует называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Теорема. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – Необходимое условие дифференцируемости. При этом , при .

Другое необходимое условие дифференцируемости — непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема. Если дифференцируема в точке , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при (т. к. ). Но это сразу следует из равенства (1), так как .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных Не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке согласно теореме.

Пример. , . Тогда , так как (). Аналогично, . Однако даже не непрерывна в точке .

Оставить комментарий