Главная / Математический анализ / Достаточное условие дифференцируемости

Достаточное условие дифференцируемости

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть принадлежит рассматриваемой окрестности . При этом все точки , , также принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функции представим в виде (4) и рассмотрим разности (5), составляющие в сумме приращение (4).

Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме ). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид . Функция по условию дифференцируема на отрезке, соединяющим И . Значит она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой , где .

Но . По условию непрерывности частных производных , где при .

Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции частные проиводные в точке равны 0, так как и (В остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке ). Но приращение не имеет вид , где При . Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или , что невозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!

Оставить комментарий