Главная / Математический анализ / Критерий интегрируемости

Критерий интегрируемости

Теорема. Для того, чтобы функция была интегрируема на необходимо и достаточно, чтобы

(1)

Доказательство.

1. Необходимость. Для числа выберем так, чтобы , что можно сделать ввиду интегрируемости на . Тогда , для любого выбора . Значит, число — верхняя грань множества значений при всевозможных выборах .

Значит, , поскольку, по доказанному в §3, Точная верхняя грань этого множества, а точная верхняя грань является наименьшей из верхних граней и не может превосходить числа . Аналогично, . Поэтому .

Неравенство (1) доказано.

2. Достаточность. Поскольку (2), множество значений при всевозможных разбиениях отрезка ограничено сверху (любым числом вида ). Аналогично, множество ограничено снизу. Поэтому существуют , . Из неравенства (2) сразу следует, что .

Покажем сначала, что из (1) следует, что . Действительно, и . Значит, ввиду произвольности , . Обозначим .

Далее, . Но при любом выборе . Поэтому , или согласно (1). Поэтому — интегрируема на . Теорема доказана.

Примечания.

Это — достаточно Слабый критерий (Более сильные критерии, например критерий Дю-Буа-Реймона, критерий Лебега интегрируемости приведены в более развернутых курсах анализа). Однако нам будет вполне достаточно этой теоремы. Часто обозначают и называют Колебанием на . Тогда критерий примет вид: — интегрируема на . Используя теорему, докажем, что существуют ограниченные, но Неинтегрируемые функции.

Пример. . Тогда и . Поэтому условие критерия не выполняется.

Оставить комментарий