Главная / Математический анализ / Приложения интеграла: площадь плоской фигуры

Приложения интеграла: площадь плоской фигуры

Считаем известным понятие площади треугольника. Площадь – неотрицательная, аддитивная величина. Площадь многоугольника легко определить, как суммарную площадь составляющих его треугольников. Это определение – корректное, т. е.: если разбить многоугольник на треугольники Различными способами, все равно сумма площадей этих треугольников одинакова. Докажем это.

Возьмем 2 разбиения многоугольника на треугольники:

Построим общее разбиение:

Получится разбиение на многоугольники, которое можно «доразбить» до треугольников (—).

Тогда площади частей как 1-го, так и 2-го разбиения получаются, как суммы площадей маленьких треугольников из результирующего разбиения. Поэтому суммы частей 1-го и 2-го разбиения отличаются друг от друга только порядком слагаемых и их величины одинаковы.

Пусть теперь — плоская фигура. Рассмотрим множество многоугольников, целиком лежащих в , и множество многоугольников, содержащих .

Так как множество ограничено сверху (любым числом ), а множество ограничено снизу (любым числом ). Поэтому существуют величины и .

Определение. Множество называется имеющим площадь (Квадрируемым), если . При этом общее значение этих величин называется .

Теорема.

Пусть представляет собой фигуру, ограниченную снизу осью , сверху – графиком , где – непрерывная функция на , с боков – вертикальными прямыми и . Тогда имеет площадь, и .

Доказательство. Взяв произвольное разбиение отрезка , рассмотрим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, соответствующие этому разбиению.

Они представляют собой, соответственно, площади содержащегося в и содержащего многоугольников.

Т. к. непрерывная функция, она интегрируема на и поэтому и теорема доказана.

Следствие. Площадь криволинейной трапеции

В предположении непрерывности и вычисляется по формуле .

Доказательство. Т. к. и непрерывны на , они ограничены на этом отрезке. Поэтому существует число такое, что .

Тогда площадь рассматриваемой фигуры есть разность площадей криволинейных трапеций и она есть , что и требовалось доказать.

Важное замечание. Если рассмотреть Квадрируемые фигуры и квадрируемые фигуры то выполняется неравенство . При этом, если эти числа равны, то — тоже квадрируемая фигура и (1).

Действительно, взяв любое и фигуры и такие, что (что можно сделать ввиду (1)), выберем многоугольники и так, чтобы мы получим, что и , а это означает, что — квадрируемая фигура.

Теорема. (Площадь в полярных координатах).

Пусть фигура представляет собой часть угла: , ограниченную графиком , — непрерывная на функция. Тогда .

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка и соответствующие ему нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для интеграла из формулировки теоремы. По известной из школьного курса формулы для площади кругового сектора, эти суммы представляют собой площади фигур .

При измельчении разбиения эти суммы ( и , где , ) стремятся к общему значению: , которое и равно искомой величине площади, согласно предыдущему замечанию, поскольку и — квадрируемые фигуры.

Оставить комментарий