Главная / Математический анализ / Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Пусть имеет непрерывные производные в области . Тогда (1).

При этом, если Независимые переменные, то можно считать Постоянными величинами, на зависящими от . Поэтому .

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению (2).

Здесь мы воспользовались тем, что . Например, при , при .

Вообще, легко заметить, что используя формальную операторную запись, (3).

Аналогично, полагая , находим: (4) в предположении, что для существуют частные производные до -го порядка включительно.

Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.

Отметим, что если (т. е. переменные не Независимые, а представляют собой функции от других переменных), то , вообще говоря, не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения. Именно, вместо (3) в этом случае верна формула (5). «Добавок» по отношению к (3) получается из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае .

Однако, если (6), то и . Поэтому в случае Линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.

Оставить комментарий