Главная / Математический анализ / Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

Пусть мы снова рассматриваем график функции и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку плоскости и параллельными оси . В сечениях получаются кривые, проходящие через точку . Проекция такой кривой на плоскость есть прямая линия, проходящая через точку . Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через , а точки прямой – буквами . Введем понятие Величины отрезка :

длине отрезка со знаком «+», если и имеют одинаковые направления;

длине отрезка со знаком «-», если и имеют противоположные направления.

Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление . Пусть для этой точки плоскости определена величина — функция от точки .

Важно отметить, что пока мы Не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат. Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например – пальцем (что не служит признаком хорошего воспитания)) и т. д.)

Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через в указанном направлении и соответствующую величину ; Если существует предел этой величины при стремлении к вдоль прямой, то он называется Производной в точке по направлению и обозначается . Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть имеет координаты , — координаты , имеет координаты . Тогда, вводя параметризацию , , для прямой, соединяющей с , , получаем: (т. к. мы предположили, что — дифференцируема в ) . При и . Поэтому (1). Аналогично, в случае 3-х переменных (2).

Скалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить, как (3) (поскольку ), где — угол между и заданным направлением .

Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда . Это позволяет определить градиент как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная по направлению достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, Не зависящую от наблюдателя.

Установим ряд важных свойств градиента: пусть и имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда

; ; ; Если , то ; Если — функция от одной переменной, имеющая производную, то .

Доказательства всех этих свойств вполне аналогичны. Разберем, например, свойство (3). Пусть, для определенности, . Тогда, по правилам дифференцирования, , , и .

Пусть , . Найдем .

Для часто встречающихся в физике радиальных функций согласно свойству (5) получаем: .

Оставить комментарий