Главная / Математический анализ / Суммы дарбу и их свойства

Суммы дарбу и их свойства

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).

По доказанной в §2 теореме ограничена на и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках , (т. е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим — точную верхнюю грань, а — точную нижнюю грань множества значений функции на , .

Определение. Числа и называются соответственно Верхней и Нижней Суммами Дарбу функции для разбиения T на отрезке .

Теорема. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу — точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек .

Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.

Во-первых, для любого и для любой точки имеет место неравенство (по определению ). Значит, (1).

Суммируя неравенства (1) по всем получаем . Т. е. — верхняя грань множества по всевозможным выборам .

Осталось доказать, что Точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное . Поскольку — точная верхняя грань множества значений на отрезке , существует точка такая, что и (2).

Суммируя неравенства (2) по получаем, что , т. к. (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки , что , что как раз и означает, что , где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.

Замечание. Отметим очевидность неравенства: .

Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого — верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек — это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.

Определение. Разбиение отрезка называется Продолжением разбиения (или Измельчением), если оно получено присоединением к новых точек деления.

(круглыми точками отмечены новые точки деления).

Теорема.

Если продолжает , то , (3). Для любых разбиений и имеет место неравенство: (4).

Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее , попала в интервал . Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.

Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:

Для верхней суммы Дарбу слагаемое заменяется на сумму , где — точная верхняя грань множества значений на , — на ;

Для нижней суммы Дарбу слагаемое заменяется суммой , где — соответствующие точные нижние грани.

Очевидны неравенства: (точная верхняя грань множества значений на Части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений на Всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений на всем отрезке).

Поэтому , т. к. .

Аналогично, , т. к. .

Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из добавлением одной новой точки.

Если же таких новых точек — несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по Одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит, и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.

Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.

Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение , которое получается, когда мы берем все точки, входящие в и все точки, входящие в . Тогда — продолжение и . Но тогда . Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.

Оставить комментарий