Главная / Математический анализ / Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует, что и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т. е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т. е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т. к. , ряды и тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов и .

Оставить комментарий