Главная / Математика / Контрольная работа №1 по дисциплине «численные методы решения задач»

Контрольная работа №1 по дисциплине «численные методы решения задач»

Исходные данные

А11=95 а22=82 а33=38

А12=10 а13=11 а21=10 а23=14 а31=11 а32=14

B1=18 b2=15 а3=33

Учитывая исходные данные система уравнений :

примет вид:

Основная матрица системы имеет вид: Матрица свободных членов

Расширенная матрица системы имеет вид :

Решение СЛАУ.

а) Метод Гаусса.

Ручной счёт

Прямой ход

95

10

11

18

10

82

14

15

11

14

38

33

80,95

12,84

13,11

12,84

36,73

30,92

34,69

28,84

Обратный ход

à X1=

à X2=

à X3=

Машинный счёт

Прямой ход Обратный ход

95

10

11

18

95

10

11

0,0900

0,1053

80,95

12,84

13,11

0,1053

80,950

12,84

0,0300

0,1158

12,84

36,73

30,92

0,1158

0,1586

34,69

0,8313

95

10

11

18

0,1053

80,950

12,84

13,11

0,1158

0,1586

34,69

28,84

X1=0.090059 X2=0.0300 X3=0.83129 Det=266758.0

B) Метод простой итерации.

Приводим систему к удобному для итераций виду :

Первые три итерации просчитываем вручную. Окончательные результаты

Просчитываем на машине.

I

X1

X2

X3

0

0

0

0

1

0.189

0.183

0.868

2

0.070

0.012

0.746

3

0.102

0.470

0.840

Машинные расчёты и ручные совпадают, машина выдала следующие результаты (последние две итерации, при уровне значимости 0,001) .

9

0,0925

0,0302

0,8316

10

0,0929

0,0309

0,8319

С) Метод Зейделя

I

X1

X2

X3

0

0

0

0

1

0.189

0.183

0.868

2

0.850

0.437

0.828

3

0.890

0.311

0.830

Машинные расчёты и ручные совпадают, машина выдала следующие результаты (последние две итерации, при уровне значимости 0,001) .

4

0,0899

0,030

0,831

Проблема собственных значений

Собственным значением матрицы А называется число удовлетворяющее данной системе уравнений.

В матричной форме это выглядит так:

Ненулевое решение возможно если det= т. е.

=0

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид.

Характеристическое уравнение имеет n корней это значит что матрица имеет n собственных значений.

Нахождение наибольшего по модулю собственного значения основной матрицы системы СЛАУ.

А=

Принимаем начальный вектор равным , а

Тогда x1=

Нормализуем x1 и получаем x1=

X1=x0

Тогда x21=

Нормализуем x1 и получаем x1=

X1=x0

Тогда x31=

… … …

Дальнейший расчёт проводится на ЭВМ.

На 10-ой итерации мы получаем, что максимальное собственное значение равно 104,544 .

0,8115

0,5297

0,2465

85,103

55,0087

25,7119

Сдвиг матрицы.

Для нахождения наименьшего по модулю собственного значения матрицы необходимо сдвинуть исходную матрицу, т. е. вычесть из элементов главной диагонали число большее чем наибольшее по модулю собственное значение матрицы.

Примем число равным 105 , следовательно матрица А примет вид:

А=

Нахождение наименьшего по модулю собственного значения основной матрицы системы СЛАУ.

Расчёт проводится на ЭВМ.

На 7-ой итерации мы получаем, что наименьшее собственное значение равно -72,097 .

-0,1314

-0,2455

0,2465

9,4237

17,7791

-69,2324

Оставить комментарий