Главная / Математика / Определенный интеграл

Определенный интеграл

Опр. 1 Если при любых разбиениях отрезка {a, b} раких, что max, и при любом выборе точек на отрезках {xi-1, xi} интегральная сумма стремиться к одному и тому же пределу s, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке {a, b} и обозначают

Опр. 2 Если для функции f(x) предел = существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке {a, b}.

Теорема 1 Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a, b}, то она интегрируется на этом отрезке.

Свойство 1 При увеличении числа отрезков, на каторые мы разбиваем отрезок {a, b} путем добавления новых точек деления, нижняя интегральная сумма может возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать.

Свойство 2 Нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма при неогрсниченном увеличении числа отрезков путем добавления новых точек деления стремятся к некоторым пределам S и S

Свойство 3 Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке {a, b}, то пределы S и S, определенные в свойстве 2 при условии, что maxXi –>0, равны.

Свойство 4 Пусть Sni и Sn2 – нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка {a, b} на n1 и соответственно на n2 отрезков. Тогда имеет место неравенство SniSn2 при любых n1 и n2.

Свойство 5 Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a, b}, то при любой последовательности разбиений отрезка {a, b} на отрезки {xi-1, xi}, не обязательно путем присоединения новых почек деления, если только maxXi –>0, нижняя интегральная сумма S*M и верхняя интегральная сумма S*m стремятся к пределу S, определеннуму в свойстве 3.

Теорема 1 Если f(x) – непрерывная функция и ф(х) =, то имеет место равенство ф'(х)=f(х). Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлена значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна) получим: Приращение функции ф(х) равно Т. е.К последнему интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 5 определенного интеграла) где заключено между х и . Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: Следовательно, Но так как при , то , а вследствии неприрывности функции f(x) Таким образом, ф'(х)=f(х). Теорема доказана.

Несобствееные интегралы.

Определение 1 Если несобственный интегралПри иммет конечный предел, то говорят, что Существует или сходиться. Если при не иммет конечного предела, то говорят, что не существует или расходиться.

Теорема 1 Если для всех х () выполняется неравенство и если Сходиться, то Также сходиться, при этом

Замечание 1 Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции f(x) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой. Поэтому, не изменяя величины определенного интеграла, можно заменить букву x любой другой буквой.

Замечание 2 При введении понятия определенного интегралаМы предпологали, что a<b. В случае b<a примем по определению = –

Замечание 3 В слуцае a=b пологаем по определению, что для любой функции f(x) имеет место

Основные свойства определенного интеграла.

Свойство 1 Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если A=const.

Свойство 2 Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Свойство 3 Если на отрезке {a, b}, где a<b, функции f(x) и u(x) удовлетворяют условию

F(x)U(x) то

Свойство 4 Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке {a, b} и bA, то

Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке {a, b}, то на этом отрезке найдется такая точка , что справедливо следующее равенство:

Свойство 6 Для любых 3-х чисел a, b,c справедливо равенство , если только все эти 3 интеграла существуют.

Теорема 2 Если для всех х () Выполняется неравенство , причем Расходится, то расходится и интеграл

Теорема 3 Если интегралСходится, то сходится и интегралВ этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Оставить комментарий