Главная / Математика / Рациональные функции

Рациональные функции

Определение. Разложение рациональной дроби на простейшие. Вспомним, что в предыдущем разделе мы определили многочлен как функцию, заданную формулой 3.3 (1). Однако, можно дать другое, эквивалентное определение многочлена: это функция действительной переменной X, которая получается, если над этой переменной и какими-либо фиксированными числами проделать конечное число раз в произвольном порядке операции сложения, вычитания и умножения. Приведя в полученном после всех операций выражении подобные члены, мы придём к той же формуле 3.3 (1).

Теперь расширим круг допустимых операций и рассмотрим функцию действительной переменной X, которая получается, если над этой переменной и какими-либо фиксированными числами проделать конечное число раз в произвольном порядке операции сложения, вычитания, умножения И деления. Такая функция называется Рациональной функцией.

Легко сообразить, что если после каждой операции, после которой выражение, содержащее X, попадает в знаменатель, приводить результат к общему знаменателю, то рациональная функция примет уже знакомый нам вид Рациональной дроби или отношения двух многочленов:

(1)

Таким образом, понятия рациональной функции и рациональной дроби эквивалентны.

Ясно, что рациональная дробь определена для всех x Î R, кроме корней многочлена в знаменателе.

Ясно также, что рациональная дробь (1) сводится просто к многочлену, если т. е. если

Нам уже знакомо одно важное свойство рациональной дроби, выраженное формулой 3.3(16), а именно: неправильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы её целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби. Сейчас мы познакомимся с другим важным свойством. В совокупности с предыдущим оно будет нам весьма полезно позже, например в курсе интегрального исчисления. простейшими рациональными дробями

Назовём Простейшими рациональными дробями функции следующих двух типов:

(2)

Где Произвольные заданные числа, k — натуральное число, квадратные трёхчлены в знаменателе имеют отрицательные дискриминанты.

Теперь рассмотрим рациональную дробь (1) и предположим, что она правильная, т. е. что Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители, как описано в 3.3.2:

Где — все корни многочлена , имеющие соответственно кратности , все квадратные трёхчлены в скобках имеют отрицательные дискриминанты и, кроме того, поскольку степени многочленов слева и справа должны совпадать:

Теорема. При указанных условиях правильная рациональная дробь (1) следующим образом разлагается на простейшие рациональные дроби:

(3)

Здесь все коэффициенты с индексами определяются единственным образом.

Доказательства теоремы мы здесь приводить не будем из-за его громоздкости. Изложим идею одного из способов доказательства: надо привести доказываемое равенство к общему знаменателю и отбросить знаменатель; получится равенство двух многочленов, которые следует упорядочить по степеням X; приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой части, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов , из которой эти коэффициенты однозначно определяются.

Этот способ доказательства применяется и как способ определения коэффициентов на практике, для конкретных рациональных дробей. Рассмотрим п р и м е р.

Дана правильная рациональная дробь

Требуется разложить её на простейшие дроби. Начинаем с разложения знаменателя на множители, как описано в 3.3.2. Это даёт:

Следовательно, данная рациональная дробь должна иметь разложение вида

Приводим это равенство к общему знаменателю, отбрасываем знаменатель и упорядочиваем правую часть по убывающим степеням X, получая:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходим к системе уравнений

с единственным решением

Итак,

Оставить комментарий