Главная / Математика / Теорема коши существования и единственности решения задачи коши для уравнения с аналитическим полем

Теорема коши существования и единственности решения задачи коши для уравнения с аналитическим полем

Отыскание решения в виде степенного ряда.

Существуют конструктивные варианты теорем существования решений дифференциальных уравнений, приспособленные для уравнений специального вида и, в силу своей конструктивности, являющиеся одновременно обоснованием приближенных или точных методов решения таких уравнений. Рассмотрим здесь одну из наиболее употребительных теорем такого типа применительно к одномерному уравнению x’=V(t, x) (1).

Теорема (Коши): если правая часть V(t, x):U®Rn (2) уравнения (1) является аналитической функцией в окрестности точки (t0,x0)ÎU, то есть разлагается в ней в ряд по степеням t-t0, x-x0: V(t, x)=Sµm=0Sk+L=m akL(t-t0)k(x-x0)L (23), то в некоторой окрестности точки t0 оси t существует единственное решение j(е) задачи Коши (1), j(t0)=x0. Это решение аналитично, то есть разлагается в степенной ряд вида j(t)=Sµm=0 bm(t-t0)m (24). Не будем излагать доказательство этой теоремы, мы его не знаем J.

Теорема позволяет находить решение в виде ряда (24) методом неопределенных коэффициентов: следует подставить в левую и правую части уравнения (1) выражения (24) и (23), считая bm неизвестными константами, затем разложить правую часть по степеням t-t0 и, наконец, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях t-t0 слева и справа. Получится бесконечная система алгебраических уравнений, из которой, а также из начальных данных. Последовательно определяются числа b0, b1, b2,…. Если удастся найти таким образом все эти числа, то можно определить интервал сходимости ряда (24) и установить, следовательно, на каком именно интервале оси этот ряд дает решение уравнения (1): ведб внутри интервала сходимости ряд (24) сходится равномерно, и тем самым операция подстановки его в уравнение (1) оправдана. Если же удастся получить только несколько первых коэффициентов bm, это даст асимптотику решения при t близких к t0 без указания области определения решения.

Оставить комментарий