Главная / Математика / Типовые расположения корней

Типовые расположения корней

Рассмотрим варианты расположения корней, характеризуемых геометрическим расположением (I и II), интегральным критерием по переходному процессу (III), минимальной длительностью переходного процесса без перерегулирования (IV).

I – все корни действительные, равные с модулем . Переходные процессы в замкнутой системе – монотонные.

II – все корни располагаются на полуокружности радиусом  в левой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Расстояние между соседними корнями , где N – порядок системы. Такое расположение – система Баттерворта [6, 7] – характеризуется частотной характеристикой без выбросов, т. е. показателем колебательности М = 1.

III – систему с оптимальным переходным процессом по критерию минимума функционала J

(5)

Предложили Грехем и Латроп [6, 7]. Переходные процессы идут быстро и с малым перерегулированием.

В работе Яворского [7] приводятся семейства уравнений до восьмого порядка с характеристиками переходных процессов. Выбранные из семейства уравнения с переходными процессами без перерегулирования с минимальной длительностью образовали вариант IV.

Для сравнения вариантов удобно ввести нормированное время :

 = 0t ; (13)

Где 0 является среднегеометрическим модулем корней.

Тогда характеристическое уравнение (11) будет иметь нормированные коэффициенты , I = 1,…,n, умноженные на 0 в соответствующей степени.

LN +a10 LN-1 + a20 2LN-2 + a30 3LN-3 +…+an-10 n-1L+0 n = 0. (14)

Набор коэффициентов , I = 1,…,n задает форму переходного процесса, а изменение 0 приводит к изменению длительности переходного процесса без изменения его формы. Таким образом, варианты уравнений удобно сравнивать по нормированной длительности 0tn переходного процесса и величине перерегулирования S.

Так как всегда , то , а остальные коэффициенты уравнений (11) и (14) связаны соотношением

, I = 1, 2, 3,…, n-1. (15)

Значения нормированных коэффициентов характеристического уравнения систем до восьмого порядка для всех вариантов расположения корней приведены в табл. 3. Там же приведены значения длительности 0tn нормированных переходных процессов и величин перерегулированияS, минимальным значениям которых соответствуют варианты III и IV.

Отметим, что приведенные в табл.3 характеристики переходных процессов соответствуют передаточным функциям, не имеющим нулей. В противном случае вид переходных процессов будет несколько иным. Однако и в этом случае можно пользоваться приведенными расположениями корней, принимая их за некоторые исходные.

Если желаемое расположение задано не коэффициентами характеристического уравнения, а непосредственно корнями , то переход от корней к коэффициентам можно осуществить по формулам Виетта:

Функция Poly вычисляет строку A коэффициентов Ai , если задан столбец L корней LI:

>> a = poly(L).

Таблица 3

Ва-ри-

По-ря-

Переходный процесс

Коэффициенты нормированных уравнений

Ант

Док

0tn

S %

I

2

3

4

5

6

7

8

4,8

6,3

7,5

9,1

10,6

11,8

12,7

2

3

4

5

6

7

8

3

6

10

15

21

28

4

10

20

35

70

5

15

35

70

6

21

56

7

28

8

II

2

3

4

5

6

7

8

2,8

5,9

6,9

7,8

8

10,8

11,5

4,5

7,1

12

9,5

12

17,2

18

1,4

2

2,6

3,24

3,86

4,5

5,12

2

3,4

5,24

7,46

10,1

13,14

2,6

5,24

9,13

14,6

21,84

3,24

7,46

14,6

25,69

3,86

10,1

21,84

4,5

13,14

5,12

III

2

3

4

5

6

7

8

2,8

3,6

4,7

5,2

5,4

7,7

10

4,5

3

10,2

2,5

3

6,4

12,1

1,4

1,75

2,1

2,8

3,25

4,475

5,2

2,15

3,4

5

6,6

10,42

12,8

2,7

5,5

8,60

15,08

21,6

3,4

7,45

15,54

25,75

3,95

10,64

22,2

4,58

13,3

5,15

IV

2

3

4

5

6

7

8

4

4,3

5,2

5,9

7,4

8,1

9

1,78

1,98

3,37

4,04

4,07

6,17

6,04

2,38

4,87

8,03

8,75

16,45

18,16

3,48

8,07

11,4

25

32,6

4,43

9,4

24,1

42,7

4,61

15,05

36,1

5,72

20,2

6,73

Оставить комментарий