Главная / Математика / Вычисление матрицы p регулятора

Вычисление матрицы p регулятора

1. Модель объекта управления имеет сопровождающую форму. Кроме того, все компоненты вектора состояния измеряются непосредственно, т. е.

, (16)

Тогда – матрица-строка, BcPcCc

. (17)

Матрица замкнутой системы (10)

, (18)

Отсюда элементы матрицы Pc регулятора находятся как разница между желаемыми и действительными Ai значениями коэффициентов характеристического уравнения

, (19)

Т. е.

. (20)

2. Произвольная модель объекта с полноразмерным измерением вектора состояния, т. е. индекс наблюдаемости N = 1, следовательно, Rank C = n.

Требуется вычислить матрицу P регулятора.

Находим матрицу Mc преобразования, приводящую модель объекта к сопровождающей форме

, (21)

. (22)

Сравнивая (22) с (17), запишем

. (23)

Задача сводится к предыдущей: вычислениt матрицы Pc по формулам (19)

И умножениt результата на матрицу (СМс)-1.

Таким образом, алгоритм вычисления модального управления сводитися к следующему:

1. Проверить управляемость и наблюдаемость объекта управления.

2. Найти коэффициенты характеристического полинома.

3. Найти желаемые коэффициенты характеристического уравнения.

4. Вычислить матрицу управления Pc.

5. Вычислить матрицу Mc преобразования к нормированной форме.

6. Вычислить матрицу управления P = Pc(СМс)-1.

Задача модального управления может быть решена с помощью функций AcKEr и Place. Обе функции вычисляют матрицу K обратных связей по переменным X (т. е. C = E), обеспечивающую желаемое расположение собственных чисел LI матрицы (A – BK) замкнутой системы

>> K = acker(A, B, L);

>> K = place(A, B, L).

Здесь LСтолбец корней характеристического полинома может быть вычеслен по строке A его коэффициентов

>> L = roots(a),

Где А состоит из еденицы (коэффициента при старшей степени) и строки коэффициентов Ai Из табл. 3, соответствующей выбранному варианту.

Функция AcKEr использует один вход, т. е. B – столбец, в то время как Place использует все входы и дополнительно решает задачу минимизации чувствительности L к изменению K. Поэтому предпочтительно пользоваться Place. Однако Place не может обеспечить кратность корней больше числа входов
(варианты I из таб.3) и не гарантирует точность для корней с равными модулями (варианты II из таб.3).

Если размерность выходного вектора y(t) меньше размерности вектора состояния x(t), то для реализации обратной связи по x(t) можно использовать наблюдатели Люенбергера или фильтр Калмана, рассмотренные в следующих разделах.

Пример. Для объекта, заданного уравнениями

Найти модальное управление, обеспечивающее апериодические переходные процессы, длительность которых не превышает 1 с.

Решение. Проверим систему на управляемость и наблюдаемость:

.

Следовательно, система полностью управляема.

По виду матрицы С можно сказать, что индекс наблюдаемости системы

N = 1. Действительно,

.

Найдем коэффициенты желаемого характеристического полинома. Апериодические переходные процессы в системе обеспечивает размещение корней по вариантам I и IV. Из табл. 3 видно, что для N = 2 по варианту IV нормированная длительность переходных 0tn = 4. Откуда для нашего случая 0 = 4, а желаемый характеристический полином — 16 + 7,144s + s2 = 0. Характеристический полином исходного объекта -1 – 3s + s2.

Коэффициенты матрицы P управления:

P1 = 7,144 – (-3) = 10,144, p2 = 16 – (-1) = 17,

.

Столбцы матрицы M преобразования к сопровождающей форме:

,

Матрица М преобразования и другие матрицы:

,

.

Матрица Р регулятора вычисляется следующим образом:

.

Следовательно, закон управления, придающее системе желаемые свойства, есть

U = -11,24y1 + 10,144y2.

Оставить комментарий