Главная / Электродинамика / Потенциалы электромагнитного поля

Потенциалы электромагнитного поля

Напомним, что в теории статических полей вводятся вспомогательные функции: скалярный потенциал электрического поля и векторный потенциал магнитного поля таким образом, что:

, (3.3.1)

, (3.3.2)

В электродинамике для описания электромагнитных полей тоже вводятся скалярный и векторный электродинамические потенциалы. Введение потенциалов электромагнитного поля позволяет значительно облегчить решение ряда задач электродинамики. В начале этой главы мы уже говорили о том, что потенциалы определяют энергию заряженной частицы в электромагнитном поле, напряженность поля определяет силу, с которой поле действует на частицу. Сила, которая действует на частицу, движущуюся в электрическом и магнитном полях, определяется формулой:

(3.3.3)

Где Q – заряд частицы, v – её скорость.

Формула (3.3.3) носит название формулы Лоренца. Она широко используется при динамическом расчете движения заряженных частиц (электронов или ионов) в электрическом и магнитном полях. При решении задач квантовой механики силы, действующие на частицы, как правило, в расчет не принимаются. Для расчета квантовых состояний частиц в электрическом и магнитном полях в соответствующие уравнения вводятся скалярный и векторный электродинамические потенциалы.

Роль, которую играют потенциалы и в электродинамике и квантовой механике, хорошо описана в уже упомянутых Фейнмановских лекциях по физике (том 6 «Электродинамика» и том 9 «Квантовая механика» изд. «Мир», Москва 1966 и 1967 гг.).

Рассмотрим, как потенциалы и связаны с векторами напряженности электрического и магнитного полей, и найдем уравнения, которым удовлетворяют эти потенциалы. Для этого будем использовать уравнения Максвелла.

Зададим векторный потенциал так, как это делается для статических полей (3.3.2). Подстановка (3.3.2) в уравнение Максвелла:

Приводит к следующему равенству:

. (3.3.4)

Используя тождество векторной алгебры , функцию, стоящую в (3.3.4) в скобках, можно приравнять градиенту некоторого скаляра.

. (3.3.5)

Разумно положить, что этот скаляр есть скалярный потенциал электрического поля. Тогда в статическом случае, когда производная по времени рана нулю, соотношение (3.3.5) превращается в уже принятое соотношение (3.3.1).

Таким образом, мы поучили выражение для напряженности электрического поля, изменяющегося во времени:

(3.3.6)

Согласно выражению (3.3.6), напряженность электрического поля может быть разделена на вихревую и потенциальную части, причем вихревая часть имеет место только в случае изменяющихся во времени полей.

Таким образом, напряженности поля и выражаются через электродинамические потенциалы и с помощью соотношений (3.3.2) и (3.3.6), и для описания электромагнитных полей достаточно знать 4 потенциальные функции: три проекции и .

Получим дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов и . Для этого в уравнения Максвелла

Подставим выражения (3.3.2) и (3.3.6)

(3.3.7)

Воспользуемся известным соотношением векторной алгебры: . Тогда (3.3.7) можно переписать так:

(3.3.8)

Дифференциальные уравнения (3.3.8) связывают электродинамические потенциалы ( и ) с источниками: зарядами и токами ( и ).

Наложим дополнительное условие, позволяющее разделить уравнения для потенциалов:

(3.3.9)

Это условие (3.3.9) называется Условием калибровки Лоренца. Используя калибровку Лоренца, можем систему уравнений (3.3.8) переписать в более простом виде:

(3.3.10)

Эти уравнения описывают те же физические процессы, которые описывают уравнения Максвелла. Система уравнений (3.3.10) образована двумя уравнениями. Такое разделение уравнений оправдано физически: в уравнение для входит плотность тока, (токи являются источниками магнитных полей), а в уравнение для входит плотность зарядов, (заряды являются источниками и стоками электрического поля). Уравнения (3.3.10) могут быть записаны как 4 скалярных дифференциальных уравнения для потенциалов с одинаковой формой для всех четырех функций ,. При и уравнения (3.3.10) переходят в волновые уравнения, которые для гармонических колебаний примут вид:

(3.3.11)

В отсутствии временной зависимости уравнения (3.3.11) переходят в уравнения магнитостатики и уравнения Пуассона

(3.3.12)

При отсутствии источников ( и ) уравнения Пуассона превращаются в уравнения Лапласса

(3.3.13)

В отсутствии временной зависимости калибровка Лоренца (3.3.9) принимает следующий вид:

(3.3.14)

И носит название «Калибровка Кулона».

При решении задач техники СВЧ, как правили, бывает достаточно решить задачу относительно одной из четырех функций координат,. Выбранная функция является скаляром, что сильно упрощает решение используемых дифференциальных уравнений. Подчеркнём здесь, что решение дифференциальных уравнений требует формулировки граничных условий. В следующих главах нашего курса мы будем рассматривать различные волноведущие структуры и находить их свойства путем решения дифференциальных уравнений относительно одной из названных выше четырех функций координат,. При решении этих задач мы будем формулировать необходимые граничные условия. Получив решение относительно избранного электродинамического потенциала, компоненты векторов электрического и магнитного полей можно найти с помощью приведенных выше соотношений (3.3.2) и (3.3.6).

Еще один векторный потенциал

При решении некоторых задач техники СВЧ заранее известно, что электрическое поле носит вихревой характер, то есть скалярный потенциал

J = 0. При этом из (3.3.6) и (3.3.9) получаем:

(3.3.15)

(3.3.16)

Вспоминая, что div(rot) = 0, где Произвольная векторная функция, можем заключить, что из (3.3.16) и (3.3.15) следует, что

. (3.3.17)

Здесь вектор Представляет собой «электрический» векторный потенциал в отличие от традиционного «магнитного» векторного потенциала . Подставляя (3.3.17) в уравнения Максвелла, найдем, что вектор , как и вектор , удовлетворяет волновому уравнению. Найдя решение волнового уравнения для одной из компонент Fx, Fy, Fz, находим компоненты вектора напряженности электрического поля с помощью соотношения (3.3.17) и далее компоненты вектора напряженности магнитного поля с помощью соответствующего уравнения Максвелла. В определенных случаях использование «электрического» векторного потенциала Облегчает решение соответствующих электродинамических задач.