Главная / Электродинамика / Уравнения максвелла и волновое уравнение для электромагнитной волны в вакууме

Уравнения максвелла и волновое уравнение для электромагнитной волны в вакууме

Используем формулу Стокса, согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Тогда:

(1.3.1)

Пусть S произвольная неизменная во времени поверхность, ограниченная контуром L. Тогда система уравнений (1.2.7) перепишется так:

Поскольку контур интегрирования в полученных интегралах произволен, равенство нулю интегралов возможно только при равенстве нулю подынтегральных выражений. Тогда:

(1.3.2)

Уравнения (1.3.2) и есть уравнения Максвелла.

В большей части курса мы будем рассматривать поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону:

,

Для которых принята комплексная форма записи:

,

Где комплексная амплитуда. При комплексной форме записи гармонических полей производная по времени заменяется умножением на .

Тогда уравнения Максвелла (1.3.2) для полей, изменяющихся по гармоническому закону, принимают вид:

(1.3.4)

Найдем решение уравнений Масквелла для простейшего случая распространения электромагнитной волны в вакууме.

В вакууме , . Поэтому для вакуума уравнения Максвелла (1.3.4) принимают вид:

(1.3.5)

Исключим Из (1.3.5). Для этого применим операцию Rot К обеим частям первого уравнения: . Теперь подставим значение из второго уравнения. В результате получим:

(1.3.6)

Используем известное соотношение векторной алгебры

(1.3.7)

Вспомним, что в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского

(1.3.8)

И учтем, что в вакууме свободных зарядов нет (т. е. ). Подставим (1.3.8) и (1.3.7) в (1.3.6). В результате получаем:

(1.3.9)

Полученное уравнение носит название Волновое уравнение. Аналогичным образом можно получить волновое уравнение относительно вектора магнитного поля .

Наиболее наглядным решением волнового уравнения является сферическая волна, распространяющаяся вокруг точечного излучателя. Чтобы получить решение для сферической волны, нужно представить оператор Лапласа в уравнении (1.3.9) в сферической системе координат, что приведет к достаточно громоздким математическим выражениям. С целью упрощения математических процедур мы рассмотрим решение волнового уравнения для плоской волны, являющейся функцией одной координаты.

Рис.1.3.1. показана схема расположения силовых линий сферической электромагнитной волны. Рисунок иллюстрирует тот факт, что на больших расстояниях от излучателя электромагнитное поле можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления, перпендикулярного плоскости постоянной фазы, причем характеристики волны зависят только от одной координаты вдоль направления распространения. Несмотря на то, что в общем случае волна имеет сферическую симметрию, в ограниченной области, обозначенной квадратом, можно говорить о плоской волне, характеристики которой зависят только от одной координаты.

Примем во внимание, что одномерный оператор Лапласа имеет следующий вид:

(1.3.10)

И получим одномерное волновое уравнение для плоской волны:

(1.3.11)

Рис.1.3.1. Схема силовых линий напряженности электрического и магнитного полей сферической электромагнитной волны.

Любое дифференциальное уравнение приобретает физический смысл, если заданы граничные условия для его решения. Решение уравнения (1.3.11) получается в виде двух волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направлений оси z. Примем в качестве граничных условий утверждение, что в рассматриваемой среде плоская волна может распространяться только в одном направлении. Итак, мы имеем решение уравнения (1.3.11) для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси z:

(1.3.12)

Фаза волны:

, (1.3.13)

Где K — волновое число (в общем случае волновой вектор).

Фиксированная ориентация вектора напряженности поля вдоль заданной координатной оси носит название Поляризации волны. Соотношение (1.3.12) задает поляризацию напряженности электрического поля вдоль оси Х.

На рис.1.3.2. показано положение плоскости постоянной фазы для двух моментов времени.

Рис.1.3.2. Движение плоскости постоянной фазы.

Для плоскости постоянной фазы (φ = const), которая движется вдоль оси z, ее производная по времени равна нулю:

;

В соответствии с (1.1.26) получаем:

Так что

, (1.3.14)

Где — скорость движения поверхности неизменной фазы или Фазовая скорость.

Подставив (1.3.12) в (1.3.11) получим

, (1.3.15)

И, сократив , получим Дисперсионное уравнение для плоской волны в свободном пространстве:

, или (1.3.16)

Разные знаки в выражении для K соответствуют волнам, распространяющимся вдоль оси Z в разных направлениях. В соответствии с (1.3.14):

(1.3.17)

В свободном пространстве , где C — скорость света.

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что скорость света в свободном пространстве определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума:

м/с (1.3.18)

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума – это характеристики пространства, связанные со статическими полями. Первая из них характеризует только диэлектрические свойства среды. А вторая – только магнитные свойства. Результат решения уравнений Масквелла, представленный формулой (1.3.18), связывает воедино электростатику, магнитостатику и динамический процесс распространения света.

Действительно, диэлектрическую проницаемость можно получить экспериментально путем измерения силы взаимодействия двух известных зарядов Q1 и Q2 расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Кулона).

Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .

Магнитную проницаемость можно получить, измерив силу взаимодействия двух проводников длиной и с током и соответственно, расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Био-Савара-Лапласа)

Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .

Следовательно, уравнения Максвелла позволяют выразить скорость света через характеристики, полученные с помощью статических измерений.

Уравнения Максвелла связывают воедино электрическое поле, магнитное поле и электромагнитные волны (свет). Создание концепции электромагнитного поля и формулировка уравнений, его описывающих, послужили одной из важнейших отправных точек физики XX века.