Главная / Электродинамика / Телеграфные уравнения для волны в линии передачи

Телеграфные уравнения для волны в линии передачи

Простейшим примером линии передачи может служить коаксиальный кабель. На рис.1.4.1 показаны размеры коаксиальной линии передачи.

Рис.1.4.1. Основные размеры коаксиальной линии передачи.

Погонные параметры линии (емкость на единицу длины линии и индуктивность на единицу длины линии):

(1.4.1)

Кроме погонной емкости и погонной индуктивности, следует ввести в рассмотрение погонное сопротивление и погонную проводимость, которые отражают поглощение энергии в активном последовательном сопротивлении проводников и поглощение энергии в параллельной проводимости, возникающей вследствие утечки тока через изолятор, заполняющей внутреннее пространство коаксиальной линии.

На рис.1.4.2 изображена эквивалентная схема отрезка линии передачи

Рис.1.4.2. Эквивалентная схема отрезка линии передачи.

Линия передачи характеризуется следующими погонными параметрами:

1. Индуктивность – L1.

2. Сопротивление – R1.

3. Емкость – C1.

4. Проводимость – G1.

Запишем выражения для тока в проводнике и разности потенциалов между проводниками на отрезке линии длиной .

(1.4.2)

Устремляя к нулю и переходя к производным, получим следующую систему уравнений:

(1.4.3)

Дифференциальные уравнения в частных производных (1.4.3), описывающие распространение сигнала в линии передачи, называются Телеграфными уравнениями. Об истории их Появления мы говорили в самом начале лекций.

Исключим ток из уравнений (1.4.3), получим

(1.4.4)

Аналогичным образом из (1.4.3) может быть получено уравнение для тока:

(1.4.5)

Рассмотрим сначала случай линии без потерь, т. е. и . При отсутствии потерь (1.4.4) и (1.4.5) принимают вид :

(1.4.6)

(1.4.7)

Оба эти уравнения суть Волновые уравнения. Сравним уравнение (1.4.6) с уравнением (1.3.11). Разница между ними заключается в том, что, переходя от волнового уравнения (1.3.11) к волновому уравнению (1.4.6), мы должны заменить m0 на L1 и e0 на С1. Заметим, что размерность заменяемых величин одна и та же: m0 на L1 имеют размерность Гн/м , а e0 на С1 – размерность Ф/м. Проницаемости m0 и e0 – магнитная и электрическая характеристики вакуума, погонные индуктивность и емкость L1 и С1 — магнитная и электрическая характеристики линии передачи ( в нашем случае коаксиального кабеля).

Решение уравнения (1.4.6) может быть представлено в виде суммы падающей и отраженной волн, представленных разностью электрических потенциалов между проводниками линии передачи:

, (1.4.8)

Где

. (1.4.9)

Соотношение между амплитудами подающей и отраженной волн Определяется граничными условиями на концах отрезка линии передачи. Влияние граничных условий на волновые процессы в линии передачи мы рассмотри несколько позже.

Введенный здесь параметр b есть фазовая постоянная распространения, v — фазовая скорость волны в линии передачи. Если в уравнениях (1.4.4) и (1.4.5) сохранить сопротивление – R1 и проводимость – G1, то вместо вещественной фазовой постоянной B мы получим комплексное волновое число:

(1.4.10)

Учитывая, что, как правило, потеря энергии при распространении волны в линии передачи невелика, примем во внимание следующие неравенства:

. (1.4.11)

Это позволяет преобразовать (1.4.10) следующим образом:

. (1.4.12)

Откуда непосредственно следует уже полученное соотношение для фазовой постоянной b (1.4.9) и выражение для Декремента затухания волны a:

. (1.4.13)

Для волны, бегущей в направлении положительных Z, производная по координате даст:

В то же время из (1.4.3) получаем:

Приравняем правые части двух последних равенств. Произведя простейшие сокращения, получим для падающей волны или независимо для отраженной волны следующее соотношение между напряжением и током:

(1.4.14)

Введем обозначение:

. (1.4.15)

Полученная величина называется Волновым сопротивлением линии передачи. Волновое сопротивление линии передачи есть отношение напряжения к току в бегущей волне. Это отношение следует брать только в падающей волне или только в отраженной волне. Используя соотношение (1.4.9), можем получить полезную для дальнейшего формулу для Z0:

. (1.4.16)

Запишем решения телеграфных уравнений в виде суммы падающей и отраженной волн для разности потенциалов и для тока в проводниках:

.

Если в линии присутствует и падающая и отраженная волна, то импеданс в данном сечении линии является функцией координат:

(1.4.17)

Pис. 1.4.3. Отрезок линии передачи с волновым сопротивлением Z0. На одном конце отрезка линии включен генератор напряжения с частотой w, на другом конце – нагрузка, обладающая импедансом ZH.

Обратимся к граничным условиям на концах отрезка линии передачи.

Учет граничных условий позволит установить связь между напряжениями и токами в падающей и отраженной волнах, то есть получить полное решение задачи о распределении токов и напряжений в линии. Воспользуемся схемой, изображенной на рис. 1.4.3. На рисунке представлены граничные условия в точках z = 0 и z = —L. В точке z = —L Включен генератор напряжения, обеспечивающий питание рассматриваемого отрезка линии передачи напряжением UГен с частотой w. В точке z = 0 включена нагрузка с комплексным сопротивлением ZH.

Для точки z = 0 соотношение (1.4.17) дает следующее равенство:

. (1.4.18)

Для точки z = —L Соотношение (1.4.16) дает следующее равенство:

. (1.4.19)

Из двух последних равенств получаем систему уравнений относительно амплитуды падающей и отраженной волн.

(1.4.20)

Решение полученной системы уравнений имеет следующий вид:

, (1.4.21)

, (1.4.22)

В технике СВЧ широко используется понятие Коэффициент отражения, который есть отношение комплексной амплитуды отраженной волны к комплексной амплитуде падающей волны. Коэффициент отражения принято обозначать через Г (гамма). В точке подключения нагрузки (z = 0)

. (1.4.23)

Подставим (1.4.21) и (1.4.22) в (1.4.17) и найдем входное комплексное сопротивление отрезка линии передачи длиной L (рис. 1.4.3).

. (1.4.24)

Назовем Z(-L) Входным комплексным сопротивлением отрезка линии передачи длиной L. Использование формулы Эйлера позволяет получить из (1.4.24) следующее выражение для входного комплексного сопротивления, которое широко используется при анализе СВЧ цепей:

. (1.4.25)

Рассмотрим общий случай, когда в линии распространяются падающая и отраженная волны. Тогда напряжение в сечении линии с координатой z можно записать как

Найдем квадрат модуля напряжения êU(z) ê2 = U(z).U(z)* (индекс * означает комплексное сопряжение):

(1.4.26)

На рис.1.4.4 показано формирование стоячей волны в линии.

Рис.1.4.4. Формирование стоячей волны (см. выражение (1.4.26))

Заметим, что функция координаты Z, описывающая разность потенциалов между проводниками линии передачи в виде стоячей волны, получена в результате решения телеграфных уравнений с граничными условиями для токов и напряжений на концах рассматриваемого отрезка линии. В частном случае при ZH = Z0 (см. (1.4.22))отраженная волна будет отсутствовать, и тогда в рассматриваемом отрезке линии амплитуда напряжения не зависит от координаты.