Главная / Электродинамика / Цилиндрические объемные резонаторы

Цилиндрические объемные резонаторы

Решение уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат (рис. 6.5.1) приводит с одной стороны к традиционным тригонометрическим функциям, которые описывают зависимость напряженности поля в резонаторе от угловой координаты j и от продольной координаты Z. Зависимость от радиальной координаты R описывается функциями Бесселя. В нашем конспекте мы ограничимся качественным рассмотрением полей в цилиндрических объемных резонаторах, не прибегая к их детальному описанию.

Рис.6.5.1. Цилиндрическая система координат.

Подобно полям в прямоугольном резонаторе, поля в цилиндрическом резонаторе также имеют три квантовых числа, которые являются целыми числами.

N – Определяет зависимость от угловой координаты ,

M — определяет зависимость от радиуса R,

P — Определяет зависимость от продольной координаты Z.

В цилиндрических объемных резонаторах подобно прямоугольным резонаторам можно выделить две группы волн: волны электрического и магнитного типа.

Рассмотрим в качестве примера простейшую волну Е – типа

На рис.6.5.2 представлена схема распределения силовых линий электрического и магнитного полей. При этом учитывается следующая следующая ситуация: изменений по нет (N = 0); изменений по R — одно (M = 1); изменений по Z нет (Р = 0).

Рис.6.5.2. Силовые линии полей в объемном цилиндрическом резонаторе с типом поля .

В общем случае электрическое поле волны Описывается следующей формулой:

, (6.5.1)

Где Jn(s) – функция Бесселя N- Го порядка. Параметр AN, m подбирается таким образом, чтобы при R = а выполнялось условие Jn(AN, m) = 0, Либо J’n(AN, m) = 0, то есть обеспечивается равенство нулю функции Бесселя или ее производной. Число M – Номер корня функции Бесселя или ее производной.

На рис. 6.5.3 показаны функции Бесселя нулевого и первого порядка

Рис. 6.5.3 функции Бесселя нулевого и первого порядка.

В нижеследующей таблице приведены для примера несколько первых корней функции Бесселя нулевого и первого порядка.

A01 = 2,405

A02 = 5,520

A03 = 8,654

A04 = 11,792

A11 = 3,831

A12 = 7,016

A13 = 10,173

A14 =13,324

Решение волнового уравнения позволяет получить выражение для собственной частоты цилиндрического резонатора:

. (6.5.2)

Для рассмотренного выше типа поля Находим в таблице a01 = 2,405 и из формулы (6.5.2) получаем:

, где С – скорость света. Или . Отсюда легко находим длину волны в вакууме, отвечающей резонансной частоте рассматриваемого типа поля: .

Рис.6.5.4. Силовые линии полей в квадратном резонаторе с типом поля

Сравним рассмотренный цилиндрический резонатор с прямоугольным (квадратным) резонатором, сторона которого равна диаметру цилиндрического резонатора , а распределение поля топологически совпадает с распределением поля в цилиндрическом резонаторе (рис.6.5.4). В этом случае

;

. Таким образом, резонансные частоты топологически подобных типов поля круглого резонатора и квадратного близки.

Рассмотрим еще два топологически подобных типа поля: в круглом резонаторе (рис. 6.5.5) и в прямоугольном (рис.6.5.6).

На рис.6.5.5 представлена следующая ситуация: изменений по — одно (N = 1); изменений по R — одно (M = 1); изменений по Z нет (L = 0).

Рис. 6.5.5.Силовые линии полей в цилиндрическом резонаторе с типом поля .

z

Рис.6.5.6. Силовые линии полей в квадратном резонаторе с типом поля .

Для типа поля Находим в таблице a11 = 3,831 и из формулы (6.5.2) получаем:

, где С – скорость света. Или . Отсюда легко находим длину волны в вакууме, отвечающей резонансной частоте рассматриваемого типа поля: .

В квадратном резонаторе с типом поля : , где С – скорость света. Или . Отсюда легко находим длину волны в вакууме, отвечающей резонансной частоте рассматриваемого типа поля: .

Для топологически подобных типов поля в круглом и квадратном резонаторах:(И ) и ( и ), в обоих случаях длина волны в вакууме, отвечающая резонансной частоте рассматриваемых типов поля, в квадратном резонаторе несколько больше, чем в круглом резонаторе. Это объясняется тем, что эффективный размер (площадь) квадрата больше, чем эффективный размер (площадь) круга при выбранном равенстве диаметра круга и стороны квадрата.

Рассмотрим теперь волну магнитного типа в цилиндрическом резонаторе. На рис. 6.5.7 представлено распределение силовых линий полей цилиндрического объемного резонатора с типом поля . В этом случае изменений по — нет (N = 0); изменений по r — одно (M = 1); изменений по z — одно (Р = 1).

Для типа поля резонансная длина волны определяется следующей формулой:

Рис.6.5.7. Силовые линии электрического и магнитного полей в цилиндрическом резонаторе с типом поля .

Заметим, что силовые линии не замыкаются на стенки резонатора, ток в стенках минимален. Резонатор с таким типом поля имеет максимальную добротность. При безразмерный геометрический фактор максимален (G = 2,07). При резонансная длина волны l0 = 1,52 А. Аналога типу поля цилиндрического резонатора в прямоугольном резонаторе нет.

Цилиндрический резонатор с типом поля используется в измерительной аппаратуре, когда нужно получить высокую стабильность частоты и чистый спектр колебаний. В особых случаях стенки цилиндрического резонатора с типом поля выполняются из сверхпроводникового материала, на пример ниобия (Nb). В этом случае при достаточно низкой температуре (Т @1 К) на частоте 10 ГГц такой резонатор может обеспечить весьма высокую собственную добротность (Q @ 1010).