Главная / Физика / Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

Цель работы: экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов с помощью пружинного маятника.

Приборы и принадлежности: установка «Модуль сдвига», пружины, набор грузов массой 0,05 кг и 0,15 кг, линейка.

Элементы теории и метод эксперимента

Рассмотрим прямоугольный брус, закрепленный неподвижно нижней гранью (рис. 1) [1].

Рис. 1. Деформация сдвига

Под действием силы F, приложенной к верхней грани, брус получает деформацию, называемую сдвигом.

Величина

, (1)

Где γ – относительный сдвиг, φ – угол сдвига.

При упругих деформациях угол φ очень мал, поэтому и .

Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруса касательного напряжения τ, которое определяется как модуль силы, приходящейся на единицу площади

. (2)

Здесь S – площадь поверхности, параллельной верхней грани бруса, например поверхности AB на рис. 1.

Предполагается, что действие внешней силы F распределено равномерно по верхней грани. Сила FУпр параллельна площадке, на которую она действует.

Экспериментальное изучение деформации сдвига позволило установить линейную зависимость относительного сдвига от касательного напряжения:

, (3)

Где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

В поперечных сечениях витков пружины с небольшим шагом, сжимаемых или растягиваемых силой F (рис. 2), имеет место совместное действие поперечной силы и крутящего момента [2].

Пусть D — средний диаметр пружины, N – число ее витков, D – диаметр поперечного сечения витка. Наклоном витка пренебрегаем.

Для вычисления внутренних усилий в поперечных сечениях пружины применим метод сечений, т. е. сделаем некоторое сечение и рассмотрим равновесие нижней части пружины (рис. 3).

Равновесие этой части пружины будет обеспечено только в том случае, если в поперечном сечении стержня приложить поперечную силу Q, равную по модулю силе F, и крутящий момент T, равный моменту, создаваемому силой F относительно центра тяжести сечения (продольной оси витка).

Силу Q и момент T определим из уравнений равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций на вертикальную ось сил, действующих на отсеченную часть, получаем Q=F. Сумма моментов сил, действующих на отсеченную часть, равна нулю, следовательно .

Допустим, что касательные напряжения, связанные с поперечной силой Q, равномерно распределены по сечению (рис. 4, а).

. (4)

Пусть также касательные напряжения, соответствующие деформации кручения (связанные с крутящим моментом T), распределены по сечению витка пружины так же, как при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения (рис. 4, б).

Следовательно, максимальные напряжения от кручения определяются по формуле

, (5)

Где WP – полярный момент сопротивления сечения. Для круглого сплошного сечения

. (6)

Поэтому

. (7)

Точкой сечения, в которой возникает наибольшее касательное напряжение, будет точка B. Следовательно, наибольшие касательные напряжения в сечении пружины

. (8)

В большинстве случаев второе слагаемое в скобках значительно меньше единицы и им можно пренебречь. Тогда

. (9)

Для определения осадки (изменения высоты) пружины δ, происходящей в результате растяжения, приравниваем работу внешней силы F потенциальной энергии деформации кручения.

Работа силы F на перемещении δ равна:

. (10)

Потенциальная энергия деформации пружины при кручении равна [2]

, (11)

Где – длина прутка, из которого свита пружина, IP – полярный момент инерции сечения, изображенного на рис. 5.

, (12)

Где A, DA – площади сечения и элементарной площадки соответственно. Для сечения, имеющего форму круга,

. (13)

На основании закона сохранения энергии W=U, поэтому

(14)

И

. (15)

Следовательно, формула (15) позволяет определить модуль сдвига материала, из которого изготовлена пружина. Для этого необходимо знать силу, действующую на пружину, ее характеристики и осадку.

Пусть груз массой M совершает колебательные движения на вертикально подвешенной пружине. Тогда K – коэффициент упругости, ω – угловая частота колебаний пружинного маятника, определяются формулами [3]

, (16)

. (17)

Угловая частота колебаний , где T – период колебаний.

Тогда

. (18)

Описание экспериментальной установки

p2-layout1 copy

рис. 6. схематичное изображение установки «модуль сдвига»

Схематичное изображение установки «Модуль сдвига» показано на рис. 6.

Установка «Модуль сдвига» состоит из основания 1, на котором установлена стойка 2. Кронштейн 3 с вертикально подвешенной пружиной закреплен на стойке так, чтобы наборный груз 5, подвешенный к пружине 4, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика, находящегося в нижней части стойки. Оптическая ось фотодатчика совпадает с рисками на фотодатчике.

Порядок выполнения работы

Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника

1. Собрать установку «Модуль сдвига».

2. Подключить фотодатчик к блоку с помощью кабеля.

3. Кронштейн с вертикально подвешенной пружиной закрепить на стойке так, чтобы наборный груз, подвешенный к пружине, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика, установленного в нижней части стойки. Оптическая ось фотодатчика совпадает с рисками на фотодатчике.

4. Нажать кнопку «Сеть» блока. При этом включится табло индикации.

5. Поднять груз немного вверх и отпустить. Груз начнет совершать колебательные движения на пружине.

6. Нажать кнопку «Пуск» и определить значение времени 10-ти колебаний груза по таймеру. Для этого нажать кнопку «Стоп».

7. Вычислить модуль сдвига G по формуле (18), где

M – масса груза, кг;

D – средний диаметр пружины;

D – диаметр проволоки (D1=0,0008 м, D2=0,001 м);

N – число витков пружины.

8. Выполнить пп.1-7 еще два раза.

9. Оценить погрешность измерений.

Считать, что погрешность определения модуля сдвига по формуле (18) заключена в погрешности измерения диаметра пружины D (систематическая погрешность) и периода колебаний T (систематическая + случайная погрешности).

Записать результаты прямых измерений:

А) D=<D>±DD, Где DD=DDСист;

Б) T=<T>±DT, Где , .

Записать результаты косвенных измерений:

G=<G>±ΔG, Где , , , , .

Определение модуля сдвига с помощью груза на пружине

1. Снять кронштейн с фотодатчиком.

2. Повесить пружину с грузом массой M1=0,05 кг на кронштейн установки.

3. С помощью линейки или шкалы вертикальной стойки заметить расположение нижней плоскости груза δ1.

4. Повесить на пружину груз массой M2=0,15 кг.

5. С помощью линейки или шкалы вертикальной стойки заметить расположение нижней плоскости груза δ2.

6. Определить удлинение пружины δ по формуле:

.

7. Определить модуль сдвига G по формуле (15), где

– сила, растягивающая пружину, Н;

кг.

8. Проделать указанные действия со второй пружиной.

Материал исследуемых пружин – сталь пружинная.

Параметры исследуемых пружин:

А) диаметр проволоки, мм, – 0,8; 1,0;

Б) диаметр пружин, мм, – 20;

В) число витков пружин – 28.

Поясните полученные результаты модулей сдвига пружин, сравните их со справочными данными [4, 5].

Вопросы и задания для самоконтроля

Какой формулой выражается касательное напряжение? Какая величина получила название модуля упругости второго рода и по какой формуле она определяется? Как распределены по сечению пружины касательные напряжения при ее растяжении? Какая величина называется полярным моментом сопротивления сечения? По какой формуле определяется полярный момент инерции сечения? Что такое осадка пружины и по какой формуле она определяется? По каким формулам в работе вычислялся модуль сдвига и в чем их отличие?