Главная / Физика / Движение жидкости (газа) в круглой трубе. Формула пуазейля

Движение жидкости (газа) в круглой трубе. Формула пуазейля

Рассмотрим ламинарное течение жидкости (газа) в трубе радиусом R (см. рис. П 3). Выделим в этой трубе цилиндр длиной L Меньшего радиуса R. На внешнюю поверхность этого цилиндра будет действовать сила, обусловленная вязкостью:

рис3. (11)

На торцы цилиндра действуют силы F1 и F2, обусловленные давлениями P1 и P2, результирующее воздействие которых на цилиндр равно

рис. п 1. силы, действующие на элемент жидкости, движущийся в круглой трубе.

Как было отмечено выше, ламинарное течение является стационарным. При стационарном течении движение рассматриваемого нами цилиндра будет осуществляться без ускорения. Тогда на основе второго закона Ньютона с учетом направления действия сил можем записать, что

. (12)

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим выражение для скорости движения частиц жидкости (газа) в круглой трубе при ламинарном режиме течения в зависимости от расстояния от оси:

. (13)

Постоянную интегрирования C найдем из условия равенства нулю скорости частиц на стенке трубы (т. е. при R = R). Это условие выполняется при

. (14)

Таким образом, выражение для V можно переписать в виде

. (15)

Из последнего выражения легко определить скорость на оси трубы (R = = 0):

. (16)

Тогда

. (17)

рис4Таким образом, изменение скорости по сечению трубы получается параболическим.

рис. п 2. к выводу формулы пуазейляНайдем расход (поток) жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца шириной Dr (рис. П 2). Через кольцо радиусом R За секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца 2PRdr На скорость течения в точках, находящихся на расстоянии R От оси трубы:

.

Полный поток получается интегрированием:

. (18)

Подставляя выражение для V0, получаем

. (19)

Формула (19) называется формулой Пуазейля.