Цель работы: экспериментальное определение модулей упругости пластин, изготовленных из различных материалов, методом изгиба.
Приборы и принадлежности: установка «Модуль Юнга», пластины, набор грузов массой 0.05 кг, 0.1 кг и 0.15 кг.
Элементы теории и метод эксперимента
В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.
Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.
Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».
Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где
, (1)
σ – нормальное напряжение,
A – площадь поперечного сечения стержня.
Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня
При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L+∆L, где ∆L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H–∆H и B–∆B, где ∆H и ∆B – это абсолютные поперечные деформации стержня.
Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:
. (2)
Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:
, (3)
. (4)
Здесь знак «+» у деформации 
и знак «–» у деформаций 
и 
поставлены потому, что при растяжении продольные размеры стержня увеличиваются, а поперечные уменьшаются.
Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению
, (5)
Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).
Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы
. (6)
Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).
Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона
(7)
Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.
После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F, которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ. Выделим элемент объема балки длиной Dz, находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.
Рис. 2. Изгиб консольной балки
Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны 
или кривизной ее изогнутой оси 
.
Известно [2], что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:
, (8)
Где IX – осевой момент инерции
сечения балки относительно оси Ox. Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.
На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A. Выделим на ней элементарную площадь DA.
Тогда
. (9)
Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY, проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.
Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy, площадь которых 
. Подставляя значение в выражение (9) и интегрируя, получаем:
. (10)
Аналогично
. (11)
Рассмотрим балку длиной L, установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.
Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения [2] примет вид:
. (12)
Поэтому модуль Юнга определяется формулой
. (13)
С учетом выражения (10) получим
. (14)
Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H, по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.
Описание экспериментальной установки
Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.
Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.
Порядок выполнения работы
1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.
2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.
3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.
4. Прикрепить на скобу груз массой M1=0,1 кг.
5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1.
6. Снять груз.
7. Повесить на скобу груз массой M2=0,15 кг.
8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2.
9. Рассчитать нагрузку F по формуле
, (15)
Где G – ускорение свободного падения.
10. Значение прогиба пластины определить как
. (16)
11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L=0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B=0,012 м – ширина сечения пластины; H=0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.
12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.
13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.
Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.
Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными [3, 4].
Порядок оценки погрешностей
Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).
Записать результаты прямых измерений указанных параметров:
А) L=<L>±DL, Где DL=DLСист;
Б) d=<D>±Dd, Где 
, 
.
Записать результаты косвенных измерений:
Е=<Е>±DЕ, Где 
, 
, 
, 
, 
.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?
2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?
3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?
4. Как определяется коэффициент Пуассона?
5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?
6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy?
7. Какой формулой выражается прогиб двухопорной балки?