Главная / Физика / Определение модуля упругости методом изгиба

Определение модуля упругости методом изгиба

Цель работы: экспериментальное определение модулей упругости пластин, изготовленных из различных материалов, методом изгиба.

Приборы и принадлежности: установка «Модуль Юнга», пластины, набор грузов массой 0.05 кг, 0.1 кг и 0.15 кг.

Элементы теории и метод эксперимента

В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.

Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.

Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».

Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где

, (1)


σ – нормальное напряжение,

A – площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня

При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L+∆L, где L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H–∆H и B–∆B, где H и B – это абсолютные поперечные деформации стержня.

Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:

. (2)

Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:

, (3)

. (4)

Здесь знак «+» у деформации и знак «–» у деформаций и поставлены потому, что при растяжении продольные размеры стержня увеличиваются, а поперечные уменьшаются.

Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению

, (5)

Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).

Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы

. (6)

Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).

Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона

(7)

Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.

После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F, которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ. Выделим элемент объема балки длиной Dz, находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.

Рис. 2. Изгиб консольной балки

Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны или кривизной ее изогнутой оси .

Известно [2], что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

, (8)

Где IX – осевой момент инерции сечения балки относительно оси Ox. Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.

На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A. Выделим на ней элементарную площадь DA.

Тогда

. (9)

Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY, проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.

Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy, площадь которых . Подставляя значение в выражение (9) и интегрируя, получаем:

. (10)

Аналогично

. (11)

Рассмотрим балку длиной L, установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.

Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения [2] примет вид:

. (12)

Поэтому модуль Юнга определяется формулой

. (13)

С учетом выражения (10) получим

. (14)

Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H, по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.

Описание экспериментальной установки

p1-layout1 copy

Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.

Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.

Порядок выполнения работы

рис. 6. схематичное изображение установки «модуль юнга»

1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.

2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.

3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.

4. Прикрепить на скобу груз массой M1=0,1 кг.

5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1.

6. Снять груз.

7. Повесить на скобу груз массой M2=0,15 кг.

8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2.

9. Рассчитать нагрузку F по формуле

, (15)

Где G – ускорение свободного падения.

10. Значение прогиба пластины определить как

. (16)

11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L=0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B=0,012 м – ширина сечения пластины; H=0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.

12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.

13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.

Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.

Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными [3, 4].

Порядок оценки погрешностей

Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).

Записать результаты прямых измерений указанных параметров:

А) L=<L>±DL, Где DL=DLСист;

Б) d=<D>±Dd, Где , .

Записать результаты косвенных измерений:

Е=<Е>±DЕ, Где , , , , .

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?

2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?

3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?

4. Как определяется коэффициент Пуассона?

5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy?

7. Какой формулой выражается прогиб двухопорной балки?