Главная / Графические системы / Графическая библиотека opengl

Графическая библиотека opengl

Лабораторная работа № 2.

1. Введение

OpenGL – Open Graphics Library, открытая графическая библиотека. Термин "открытый" – означает независимый от производителей. Имеется спецификация (стандарт) на OpenGL, где все четко задокументировано и описано. Библиотеку OpenGL может производить кто угодно. Главное, чтобы библиотека удовлетворяла спецификации OpenGL и ряду тестов. Как следствие, в библиотеке нет никаких темных мест, секретов, недокументированных возможностей и т. п, те кто программировал под MS Windows или MS DOS понимают о чем я говорю. Библиотеку выпускают такие корпорации, как Microsoft, Silicon Graphics, а также просто группы программистов. Одним из таких примеров служит реализация Mesa. Эту библиотеку написали целый ряд программистов, главным автором является Brian Paul. Библиотека Mesa распространяется в исходных текстах на языке Си и собирается почти для любой операционной системы. Стандарт OpenGL развивается с 1992 года. Он разрабатывается фирмой Silicon Graphics. С тех пор библиотека завоевала огромную популярность и была интегрирована с множеством языков и систем разработки приложений. Вы можете писать программу с использованием OpenGL на Си, С++, Pascal, Java и многих других языках. Основное предназначение OpenGL программирование трехмерной графики.

Библиотека OpenGL представляет собой интерфейс программирования трехмерной графики. Единицей информации является вершина, из них состоят более сложные объекты. Программист создает вершины, указывает, как их соединять (линиями или многоугольниками), устанавливает координаты и параметры камеры и ламп, а библиотека OpenGL берет на себя работу создания изображения на экране. OpenGL идеально подходит для программистов, которым необходимо создать небольшую трехмерную сцену и не задумываться о деталях реализации алгоритмов трехмерной графики. Для профессионалов, занимающихся программированием трехмерной графики, библиотека тоже будет полезной, т. к. она представляет основные механизмы и выполняет определенную автоматизацию. Используя OpenGL можно с легкостью создать трехмерные поверхности, наложить на них текстуры, осветить источниками света, сделать эффект тумана, прозрачности, смешивания цветов, а также наложить трафарет, передвигать объекты сцены, лампы и камеры по заданным траекториям, сделав тем самым анимацию. OpenGL непосредственно не поддерживает работу с устройствами ввода, такими как мышь или клавиатура, т. к. эта библиотека является платформенно независимой. Но можно задействовать функции конкретной операционной системы, под которую вы пишите свою программу или воспользоваться надстройками над OpenGL, такими как библиотеки GLUT или GLAUX.

2. Первая программа

Самым простым объектом, с помощью которого можно увидеть всю мощь OpenGL, является сфера. Можно попытаться ее изобразить. Для этого надо создать новый проект в VisualC++, выполнив следующие действия:

— запустить Visual C++;

— выполнить команду File | New…;

— в открывшемся диалоговом окне выбрать тип проекта Win32 Application, в поле Project Name указать имя проекта, а в поле Location – папку в которой будет находиться проект;

— нажать кнопку OK. Затем, ничего не изменяя, – кнопку Finish и еще раз OK;

— скопировать в папку проекта два файла Sample. cpp и Sample. h (выдаются преподавателем);

— подключить эти два файла к проекту выполнив команду Project | Add To Project | Files…;

— далее выполнить команду Project->Settings, выбрать закладку Link и добавить в поле Object/library modules следующие lib-файлы: opengl32.lib, glu32.lib и glaux. lib;

— вставьте в функцию Display следующий код:

GlColor3d(1,0,0);

AuxSolidSphere(1);

— создать exe-модуль (F7).

Поясним назначение вставленных двух функций. Функция glColor3d устанавливает текущий цвет, которым будут рисоваться фигуры. Тут нужно пояснить, как устанавливается цвет и общую философию в названии функций OpenGL. Цвет устанавливается четырьмя параметрами: красный, синий, зеленый и прозрачность. Эти параметры варьируются в диапазоне от нуля до единицы. Четвертый параметр нам пока не нужен, поэтому мы вызвали glColor с тремя параметрами. В этом случае, значение четвертого параметра, прозрачности, по умолчанию считается равным единице, т. е. абсолютно непрозрачным, ноль – будет абсолютно прозрачным. Применяется следующий синтаксис вызова функций – FuncionName[n=число параметров][тип параметров].

Доступны следующие типы:

B – GLbyte байт;

S – GLshort короткое целое;

I – GLint целое;

F – GLfloat дробное;

D – GLdouble дробное с двойной точностью;

Ub – GLubyte беззнаковый байт;

Us – GLushort беззнаковое короткое целое;

Ui – GLuint беззнаковое целое;

V – массив из n параметров указанного типа;

В нашем случае – glColor3d – означает, что в функцию передается три параметра типа GLdouble. Также можно было вызвать glColor3i, т. е. три параметра типа GLint. Если тип параметров короткое целое, целое, байт или длинное, то компонента цвета приводится к диапазону [0,1]. Приведение к этому диапазону осуществляется по следующим правилам. В случае беззнакового типа возможное наибольшее значение приводится к единице, ноль к нулю. В случае знакового максимальное значение приводится к единице или к минус единице, а минус единица будет приведена к единице. На практике обычно пользуются одним из трех случаев, рассмотренных в качестве примера ниже. Например, для беззнакового байта приведение будет осуществлено по следующей формуле: значение_переменной_хранимой_в_байте/255, т. к. 255 максимальное число, хранимое в одном байте. Функция glColor3dv означает, что в качестве параметров передается массив из трех элементов типа GLdouble. Например:

Double array[] = {0.5, 0.75, 0.3};

GlColor3dv(array);

GlColor3ub(200,100,0); // приводится к

// 200/256, 100/256, 0,256

GlColor3d(0.25,0.25,0); // темно-желтый

GlColot3ub(0,100,0); // темно-зеленый

GlColor3ub(0,0,255); // синий

3. Простые объекты. Общие положения

Точки, линии, треугольники, четырехугольники, многоугольники –простые объекты, из которых состоят любые сложные фигуры. OpenGL непосредственно не поддерживает функций для создания таких сложных объектов как сфера, цилиндр тор и др., т. е. таких функций нет в opengl32.dll. Эти функции есть в библиотеки утилит glu32.dll, и устроены они следующим образом. Для того чтобы нарисовать сферу функция auxSolidSphere использует функции из библиотеки glu32.dll, а те в свою очередь, используют базовую библиотеку opengl32.dll и из линий или многоугольников строят сферу. Примитивы создаются следующим образом:

GlBegin(mode); // указываем, что будем рисовать

glVertex[2 3 4][s i f d](…); // первая вершина

… // тут остальные вершины

glVertex[2 3 4][s i f d](…); // последняя

//вершина

GlEnd(); // закончили рисовать примитив

Сначала необходимо указать начало рисования – glBegin с соответствующим параметром.

Void glBegin(

GLenum mode

);

Возможные значения mode перечислены ниже в таблице. Далее указываются вершины, определяющие объекты указанного типа. Обычно вершину задают одним из четырех способов.

GlVertex2d(x, y); // две переменных типа double

GlVertex3d(x, y,z); // три переменных типа double

GlVertex2dv(array); // массив из двух переменных типа

//double

GlVertex3d(array); // массив из трех переменных типа

//double

Вызов

Void glEnd(void);

Указывает на конец рисования объектов типа, указанного в glBegin. Далее подробно разберем создание всех примитивов.

Таблица 1.

Возможные значения mode

Значение

Описание

GL_POINTS

Каждый вызов glVertex задает отдельную точку.

GL_LINES

Каждая пара вершин задает отрезок.

GL_LINE_STRIP

Рисуется ломанная.

GL_LINE_LOOP

Рисуется ломанная, причем ее последняя точка соединяется с первой.

GL_TRIANGLES

Каждые три вызова glVertex задают треугольник.

GL_TRIANGLE_STRIP

Рисуются треугольники с общей стороной.

GL_TRIANGLE_FAN

То же самое, но по другому правилу соединяются вершины.

GL_QUADS

Каждые четыре вызова glVertex задают четырехугольник.

GL_QUAD_STRIP

Четырехугольники с общей стороной.

GL_POLYGON

Многоугольник.

3.1. Точки

Можно нарисовать сколько угодно точек, вызывая glVertex3d, и тем самым, устанавливая новую точку. При создании точек можно изменять следующие параметры. Можно вызывать glColor3d внутри glBegin/glEnd. Размер точки можно устанавливать с помощью функции:

Void glPointSize(GLfloat size);

Режим сглаживания можно устанавливать вызовом функции

GlEnable(GL_POINT_SMOOTH);

Отключается соответственно вызовом glDisable(GL_POINT_SMOOTH). Последние функции – glPointSize и glEnable/glDisable надо вызывать вне glBegin/glEnd, иначе они будут проигнорированы. Функции glEnable/glDisable включают/выключают множество опций, но следует учитывать, что некоторые опции влекут за собой большие вычисления и, следовательно, изрядно затормаживают приложение, поэтому без надобности не стоит их включать.

// рисуем точки

GlPointSize(2);

GlBegin(GL_POINTS);

glColor3d(1,0,0);

glVertex3d(-4.5,4,0); // первая точка

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(-4,4,0); // вторая точка

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(-3.5,4,0); // третья

GlEnd();

GlPointSize(5);

GlBegin(GL_POINTS);

glColor3d(1,0,0);

glVertex3d(-2,4,0); // первая точка

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(-1,4,0); // вторая точка

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(0,4,0); // третья

GlEnd();

GlPointSize(10);

GlEnable(GL_POINT_SMOOTH);

GlBegin(GL_POINTS);

glColor3d(1,0,0);

glVertex3d(2,4,0); // первая точка

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(3,4,0); // вторая точка

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(4,4,0); // третья

GlEnd();

GlDisable(GL_POINT_SMOOTH);

3.2. Линии

Для линий также можно изменять ширину, цвет, размер сглаживание. Если вы зададите разные цвета для начала и конца линии, то ее цвет будет переливающимся. OpenGL по умолчанию делает интерполяцию. Так же можно рисовать прерывистые линии, делается это путем наложения маски при помощи, следующей функции:

Void glLineStipple(GLint factor, GLushort pattern);

Второй параметр задает саму маску. Например, если его значение равно 255(0x00FF), то чтобы вычислить задаваемую маску воспользуемся калькулятором. В двоичном виде это число выглядит так: 0000000011111111, т. е. всего 16 бит. Старшие восемь установлены в ноль, значит, тут линии не будет. Младшие установлены в единицу, тут будет рисоваться линия. Первый параметр определяет, сколько раз повторяется каждый бит. Скажем, если его установить равным 2, то накладываемая маска будет выглядеть так:

00000000000000001111111111111111

Далее приведен исходный текст с комментариями для наглядной демонстрации.

GlLineWidth(1); // ширину линии

// устанавливаем 1

GlBegin(GL_LINES);

glColor3d(1,0,0); // красный цвет

glVertex3d(-4.5,3,0); // первая линия

glVertex3d(-3,3,0);

glColor3d(0,1,0); // зеленый

glVertex3d(-3,3.3,0); // вторая линия

glVertex3d(-4,3.4,0);

GlEnd();

GlLineWidth(3); // ширина 3

GlBegin(GL_LINE_STRIP); // см. ниже

glColor3d(1,0,0);

glVertex3d(-2.7,3,0);

glVertex3d(-1,3,0);

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(-1.5,3.3,0);

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(-1,3.5,0);

GlEnd();

GlLineWidth(5);

GlEnable(GL_LINE_SMOOTH);

GlEnable(GL_LINE_STIPPLE); // разрешаем рисовать

// прерывистую линию

GlLineStipple(2,58360); // устанавливаем маску

// пояснения см. ниже

GlBegin(GL_LINE_LOOP);

glColor3d(1,0,0);

glVertex3d(1,3,0);

glVertex3d(4,3,0);

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(3,2.7,0);

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(2.5,3.7,0);

GlEnd();

GlDisable(GL_LINE_SMOOTH);

GlDisable(GL_LINE_STIPPLE);

3.3. Треугольники

Для треугольника можно задавать те же параметры, что и для линии плюс есть еще одна функция

Void glPolygonMode(

GLenum face,

GLenum mode);

Она устанавливает опции для прорисовки многоугольника. Возможные значения параметров функции приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Значения параметров функции glPolygonMode

Face

GL_FRONT

Лицевая сторона

GL_BACK

Тыльная сторона

GL_FRONT_AND_BACK

Обе стороны

Mode

GL_POINT

Рисуются только точки

GL_LINE

Рисуем линии

GL_FILL

Рисуем заполненный многоугольник

Первый параметр указывает, для каких сторон применяется опция, заданная вторым параметром. Треугольники можно рисовать, передав GL_TRIANGLE_STRIP или GL_TRIANGLE_FAN в glBegin. В первом случае первая, вторая и третья вершины задают первый треугольник. Вторая, третья и четвертая вершина — второй треугольник. Третья, четвертая и пятая вершина — третий треугольник и т. д. Вершины n, n+1 и n+2 определят n-ый треугольник. Во втором случае первая, вторая и третья вершина задают первый треугольник. Первая, третья и четвертая вершины задают второй треугольник и т. д. Вершины 1, n+1, n+2 определяют n-ый треугольник. Далее следует пример с комментариями.

GlPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_FILL); // см. выше

GlBegin(GL_TRIANGLES);

glColor3d(1,0,0); // рисуем треугольник

glVertex3d(-4,2,0);

glVertex3d(-3,2.9,0);

glVertex3d(-2,2,0);

GlEnd();

GlLineWidth(2);

//рисуем проволочные треугольники

GlPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_LINE);

GlBegin(GL_TRIANGLE_STRIP); // обратите внимание на

// порядок вершин

glColor3d(0,1,0);

glVertex3d(1,2,0);

glVertex3d(0,2.9,0);

glVertex3d(-1,2,0);

glVertex3d(0,1.1,0);

GlEnd();

GlEnable(GL_LINE_STIPPLE);

GlPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_LINE);

GlBegin(GL_TRIANGLE_FAN);

glColor3d(0,0,1);

glVertex3d(4,2,0);

glVertex3d(2.6,2.8,0);

glVertex3d(2,2,0);

glVertex3d(3,1.1,0);

GlEnd();

GlDisable(GL_LINE_STIPPLE);

3.4. Четырехугольники и многоугольники

Четырехугольники рисуются вызовом функции glBegin с параметром GL_QUADS или GL_QUAD_STRIP. Для первого случая каждые четыре вершины определяют свой четырехугольник. Во втором случае рисуются связанные четырехугольники. Первая, вторая, третья и четвертая вершина определяют первый четырехугольник. Третья, четвертая, пятая и шестая вершина — второй четырехугольник и т. д. (2n-1), 2n, (2n+1) и (2n+2) вершины задают n-ый четырехугольник. Многоугольники задаются вызовом glBegin с параметром GL_POLYGON. Все вершины определяют один многоугольник. Для многоугольников можно задавать стили при помощи выше описанной функции glPolygonMode, толщину линии, толщину точек и цвет.

4. Переход к новым координатам

В предыдущем разделе вы научились рисовать примитивные трехмерные объекты. Но проблема в том, что они рисуются только в начале координат, т. е. в точке (0,0,0). Для того чтобы изобразить объект в точке (x0,y0,z0), надо переместить начало координат в эту точку, т. е. надо перейти к новым координатам. Эта процедура довольно распространенная при программировании графики и анимации. Часто, бывает очень удобно, сместить координаты в новую точку и повернуть их на требуемый угол, и ваши расчеты резко упростятся. Для перехода к новым координатам в OpenGL есть две функции:

Void glTranslated( Dx, Dy, Dz );

Void glRotated(j, x0,y0,z0 );

Первая функция сдвигает начало системы координат на (Dx, Dy, Dz). Вторая — поворачивает на угол j против часовой стрелки вокруг вектора (x0,y0,z0). Теперь, стоит сказать еще о двух очень важных функциях:

Void glPushMatrix();

Void glPopMatrix();

Они предназначены для сохранения и восстановления текущих координат. Часто бывает неудобно переходить от одной системы координат к другой и помнить все переходы. Гораздо удобнее с помощью glPushMatrix() сохранить текущие координаты, потом сдвигаться, вертеться, как угодно, а после, вызовом glPopMatrix вернуться к старым координатам. Теперь можно поэкспериментировать. Рассмотрим сдвиг координат. Вставьте в функцию display следующий код:

GlPushMatrix(); // сохраняем текущие координаты

GlTranslated(1.4,0,0);// сдвигаемся по оси Х на 1.4

GlColor3d(0,1,0);

AuxSolidSphere(0.5); // рисуем сферу в (1.4,0,0)

// в абсолютных координатах

GlTranslated(1,0,0); // еще раз сдвигаемся

GlColor3d(0,0,1);

AuxSolidSphere(0.3);

GlPopMatrix(); // возвращаемся к старой системе

// координат

GlColor3d(1,0,0);

AuxSolidSphere(0.75); // рисуем сферу в точке (0,0,0)

// в абсолютных координатах

5. Поворот координат

Теперь рассмотрим вращение координат. В функцию display вставьте следующий код:

GlColor3d(1,0,0);

AuxSolidCone(1, 2); // рисуем конус в центре координат

GlPushMatrix(); // сохраняем текущие координаты

glTranslated(1,0,0); // сдвигаемся в точку (1,0,0)

glRotated(75,1,0,0); // поворачиваем систему

// координат на 75 градусов

glColor3d(0,1,0);

auxSolidCone(1, 2); // рисуем конус

GlPopMatrix(); // возвращаемся к старым координатам

Как видите, конус повернулся в абсолютных координатах. Так что, для того, чтобы нарисовать фигуру не в начале координат, надо:

· сохранить текущие координаты;

· сдвинуть(glTranslated), повернуть(glRotated);

· нарисовать то, что хотели;

· вернуться к старым координатам.

Вызовы glPushMatrix/PopMatrix могут быть вложенными, т. е.:

GlPushMatrix();

glPushMatrix();

glPopMatrix();

GlPopMatrix();

Естественно число вызовов glPopMatrix должно соответствовать числу вызовов glPushMatrix, иначе сцена улетит в неизвестном направление. Максимально допустимая глубина вложенности glPushMatrix/glPopMatrix определяется следующим образом:

Int n;

GlGetIntegerv(GL_MAX_MODELVIEW_STACK_DEPTH, &n);

Printf("n=%d ",n);

Спецификация на OpenGL гарантирует, что глубина стека не может быть меньше 32.

6. Построение поверхностей

Существует набор функций для построения сфер, цилиндров и дисков. Эти функции представляют очень мощный контроль за построением трехмерных объектов. Для рисования поверхностей используются следующие функции:

Void gluSphere(

GLUquadricObj * qobj,

GLdouble radius,

GLint slices,

GLint stacks

);

Void gluCylinder(

GLUquadricObj *qobj,

GLdouble baseRadius,

GLdouble topRadius,

GLdouble height,

GLint slices,

GLint stacks

);

Void gluDisk(

GLUquadricObj *qobj,

GLdouble innerRadius,

GLdouble outerRadius,

GLint slices,

GLint loops

);

Void gluPartialDisk(

GLUquadricObj *qobj,

GLdouble innerRadius,

GLdouble outerRadius,

GLint slices,

GLint loops,

GLdouble startAngle,

GLdouble sweepAngle

);

В начале занятия вы научились строить трехмерные объекты с помощью функций из библиотеки Auxilary Library. Функции aux[Solid/Wire]Sphere, aux[Solid/Wire]Cylinder и aux[Solid/Wire]Cone просто вызывают gluSphere и gluCylinder. В aux[Solid/Wire]Cylinder и aux[Solid/Wire]Cone фирмы Microsoft имеются баги. Здесь будет подробно рассмотрено построение сфер и цилиндров, так что потребность в aux[Solid/Wire]Cylinder и aux[Solid/Wire]Cone отпадет.

Первым параметром для gluSphere, gluCylinder, gluDisk и gluPartialDisk является указатель на объект типа GLUquadricObj. Далее следуют параметры непосредственно создаваемой фигуры. Для сферы – это радиус; для цилиндра – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота; для диска – внутренний радиус, внешний радиус и для частичного диска – внутренний радиус, внешний радиус, угол, с которого начинать рисовать, длина дуги в градусах, которую рисовать. Последние два параметра у всех этих функций одинаковы. Это число разбиений вокруг оси Z и число разбиений вдоль оси Z. Как известно, все сложные объекты состоят из простых: точек, линий и многоугольников. Понятно, что нарисовать (создать) идеально гладкую сферу или цилиндр невозможно. Поэтому строится приближение из плоскостей. Для этого и нужно указать количество разбиений. Чем больше разбиение, тем лучше будет выглядеть ваш объект. Однако, задавать здесь число с шестью нулями не стоит. Это лишено всякого смысла. Оптимальным является число от 10 до 20. Чем больше объект, тем больше нужно разбиений. Число разбиений (вдоль и поперек) лучше выставлять одинаковыми.

Сначала необходимо создать объект типа GLUquadricObj с помощью функции

GLUquadricObj * gluNewQuadric(void);

Затем нужно установить свойства с помощью функции

Void gluQuadricDrawStyle(

GLUquadricObj *qobj,

Glenum drawStyle

);

Доступны стили:

GLU_FILL – рисуется сплошной объект;

GLU_LINE – проволочный объект;

GLU_POINT – рисуются только точки.

Удалить созданный объект можно, воспользовавшись функцией

Void gluDeleteQuadric(GLUquadricObj * state);

Теперь можно поэкспериментировать. Измените функцию display следующим образом.

Void display(void)

{

GLUquadricObj * quadObj;

// создаем новый объект для создания сфер и цилиндров

quadObj = gluNewQuadric();

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

glPushMatrix();

glColor3d(1,0,0);

// устанавливаем стиль: сплошной

gluQuadricDrawStyle(quadObj, GLU_FILL);

// рисуем сферу радиусом 0.5

gluSphere(quadObj, 0.5, 10, 10);

glTranslated(-2,0,0); // сдвигаемся влево

glRotated(45, 1,0,0); // поворачиваем

glColor3d(0,1,0);

// устанавливаем стиль: проволочный

gluQuadricDrawStyle(quadObj, GLU_LINE);

gluCylinder(quadObj, 0.5, 0.75, 1, 15, 15);

glPopMatrix();

gluDeleteQuadric(quadObj);

auxSwapBuffers();

}

7. Плоскости отсечения

Если требуется нарисовать сферу или любой другой объект урезанным, то это можно сделать с помощью плоскости отсечения. Плоскостей отсечения может быть шесть. По умолчанию они все запрещены. Плоскость отсечения включается командой glEnable(GL_CLIP_PLANE0). Ноль на конце GL_CLIP_PLANE означает нулевую плоскость; можно указать один, два, три и т. д. Сама плоскость устанавливается функцией

Void glClipPlane(

GLenum plane,

const GLdouble *equation

);

Первый аргумент этой функции – это плоскость, второй – это массив из четырех элементов, в котором хранятся коэффициенты (A, B, C, D) уравнения плоскости: A*x + B*y + C*z + D = 0. Измените функцию display, как показано ниже.

Void display(void)

{

GLdouble equation[4] = {-1,-0.25,0,2};

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

glEnable(GL_CLIP_PLANE0);

glClipPlane(GL_CLIP_PLANE0, equation);

glColor3d(1,0,0);

auxSolidSphere( 3 );

glDisable(GL_CLIP_PLANE0);

auxSwapBuffers();

}

8. Задания

1. Нарисовать куб представляющий собой пространство RGB. Вершины куба имеют цвета: R – красный, G – зеленый, B – синий, C – голубой, M – пурпурный, Y – желтый, W – белый, K – черный. Цвет каждого ребра плавно изменяется от цвета одной вершины до цвета другой.

После того, как куб нарисован, осуществить сдвиг его так, чтобы начало координат совпало с центром куба, а затем поворот вокруг оси OX на угол 30° и вокруг оси OZ на угол -20°.

2. Нарисовать сцену, в которой в начале координат изображается сфера радиуса r. На расстоянии R1 от первой сферы в некоторой точке (x1, y1, 0) изображается сфера с радиусом r1. От нее на расстоянии R2 в некоторой точке (x2, y2, 0) изображается сфера радиуса r2.

После того как сцена нарисована необходимо ее «оживить», т. е. заставить вращаться сферу r1 вокруг сферы r, а сферу r2 вокруг r1. Для этого необходимо объявить глобальные переменные f1 и f2 – углы поворота соответственно r1 вокруг r и r2 вокруг r1. Затем перед каждым выводом инкрементировать f1f2 на постоянные величины и вычислять x1, y1, x2, y2 по следующим формулам:

X1 = R1*cos(f1);

Y1 = R1*cos(f1);

X2 = R2*cos(f2);

Y2 = R2*cos(f2);

В результате должна получиться сцена изображенная на рисунке