Алгебры. Любое отображение из Mn В M называют П-местной операцией на множестве М. Пусть на M Заданы N
-местная операция j,…, Nm-местная операция jM. Множество М вместе с заданной на нём упорядоченной совокупностью операций W ={j,…, j
}, т. е. система А=(М; j,…, j), называется Алгеброй. При этом М называется Носителем алгебры А, упорядоченный набор (N,…, N) называется ее Типом, W — Сигнатурой.
Множество M‘ Ì M называется Замкнутым относительно П-Местной операции J На М, если J(М’
)Í М’ Т. е. если значения J на аргументах из М’ принадлежат М’. Если М’ Замкнуто относительно всех операций J,…, J алгебры А, то набор А’=(М’,J,…,J) называется Подалгеброй Алгебры А (при этом J,…,J рассматриваются как операции на М’).
Примеры.
1. Алгебра (Ñ;,
) называется Полем действительных чисел. Обе операции – двуместные, поэтому тип этой алгебры (2, 2). Все конечные подмножества R, кроме {0}, не замкнуты относительно каждой из этих операций. Поле рациональных чисел является подалгеброй этой алгебры.
2. Пусть Np{0, 1, 2,…, Р-1}. Определим на N
операции Å («сложение по модулю Р») И 
Ä («умножение по модулю Р») следующим образом: АÅB=с, AÄB=D, где С и D –Остатки от деления на Р чисел А+B и АB соответственно.* Например, если Р7, то Np={0, 1,…, 6}, 3Å4=0, 3Ä4=5, 4Å6=3. Если Р – Простое число, то алгебра {N; Å, Ä} называется Конечным полем характеристики р.
3. Пусть задано множество U. Алгебра B=(2U; 
) называется Булевой алгеброй множеств над U; её тип (2, 2, 1). Элементами основного множества этой алгебры являются подмножества U. Для любого U‘ÌU система В¢=( 2U¢; ) является подалгеброй алгебры В. Например, если U={А, B, с, D}, то носитель алгебры В содержит 16 элементов; алгебра В¢={2{А, С}; } – подалгебра В, её носитель содержит четыре элемента.
4. Множество F одноместных бесконечно гладких вещественных функций на Ñ, имеющих производные всех порядков, Вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Единственная операция этой алгебры одноместна. Множество многочленов замкнуто относительно дифференцирования и, следовательно, образует подалгебру данной алгебры.
5. Пусть A, а
, а
, а
– вершины квадрата, пронумерованные против часовой стрелки. Рассмотрим повороты квадрата против часовой стрелки вокруг центра, переводящие Таких поворотов бесконечное множество: на углы 0, p/2, p, 3p/2, 2p, 5p/2,…, однако они задают всего четыре различных отображения множества вершин в себя, соответствующих первым четырём поворотам. Обозначим эти повороты через A, B, G , d. Получаем алгебру с основным множеством {A, а, а, а} и четырьмя одноместными операциями: a, b, g, d. Их можно задать табл. 2.1, в которой на пересечении, например, строки А и столбца g написано значение функции g(А ).
Таблица 2.1 | Таблица 2.2 | |||||||||
A | B | G | D | A | B | G | D | |||
A | A | А | А | А | A | A | B | G | D | |
А | А | А | А | A | B | B | G | D | A | |
А | А | А | A | А | G | G | D | A | B | |
А | А | A | А | А | D | D | A | B | G |
Операция 
, является тождественным отображением носителя данной алгебры. Она соответствует нулевому повороту. Подалгебр в этой алгебре нет.
6. Множество О={a, b, g, d} отображений носителя предыдущей алгебры в себя вместе с двуместной операцией композиции отображений образует алгебру {О; 
}. Композиция отображений, принадлежащих множеству О, есть результат последовательного выполнения двух поворотов. Она задается таблицей 2.2 (в ней, например, на пересечении строки и столбца g написан результат композиции g). Множество {a, g}, т. е. повороты на углы 0, p, образует подалгебру алгебры {О;}.
Отметим, что любая двуместная операция на конечном множестве, может быть задана таблицей, аналогичной таблице 2.2; такая таблица называется Таблицей Кэли.
Специальные свойства бинарных алгебраических операций. Для того, чтобы последующие соотношения выглядели более привычно, условимся результат применения двуместной операции J К элементам А, B Записывать не в функциональном виде J(А, B), А в виде АJB, как это принято для арифметических операций.
В качестве первого свойства, которым может обладать или не обладать бинарная операция рассмотрим ассоциативность. Операция j называется Ассоциативной, Если для любых элементов А, B, с
(АJB)JС=АJ(BJС).
Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении 
можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях АBС И аBС. Пример неассоциативной операции – возведение в степень: (АB)с
А(B
). Правда, запись АB считается допустимой, но служит сокращением выражения А(B), а не (АB)с, которое равно более компактному выражению АBС.
Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.
Следующее свойство называется коммутативностью. Операция J называется Коммутативной, если для любых элементов А, B
АJB=BJА.
Сложение чисел коммутативно («от перемены мест слагаемых сумма не меняется»), так же как и умножение чисел; вычитание и деление чисел некоммутативны. Некоммутативным является умножение матриц: например,
´
= 
, но ´ = 
.
Следующее свойство – дистрибутивность. Это уже взаимное свойство двух операций. Операция J называется Дистрибутивной слева относительно операции Y, если для любых А, B, с
АJ(BYС)=(АJB)Y(АJС),
И Дистрибутивной справа Относительно Y, если
(АYB)JС=(АJС)Y(BJС).
Дистрибутивность даёт возможность pacкрывать скобки. Умножение чисел дистрибутивно относительно сложения слева и справа. Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: (АB)сАсBС, но не слева: АBС¹АBАс.