Главная / Интеллектуальные системы принятия решений / Методика анализа альтернатив с использованием функций полезности

Методика анализа альтернатив с использованием функций полезности

Существует большое количество методов и алгоритмов многокритериального выбора альтернатив, основанных на применении функций полезности. Под Функциями полезности понимаются функции P=Fi(X), i=1,…,M, описывающие зависимость полезности альтернатив с точки зрения ЛПР (P) от оценок этих альтернатив по i-му критерию (X); здесь M – количество критериев. Меры полезности P обычно принимают значения из диапазона от нуля до единицы (чем лучше альтернатива с точки зрения ЛПР, тем выше ее мера полезности). Функции полезности строятся на основе информации, полученной от ЛПР. На основе мер полезности по отдельным критериям рассчитываются обобщенные меры полезности альтернатив, т. е. оценки, отражающие предпочтение альтернатив по всем критериям.

Для построения функции полезности от ЛПР обычно требуется получить следующую информацию:

*  суждения о том, какие значения критериев желательны, а какие — нежелательны;

*  суждения о компенсации одних критериев другими;

*  парные сравнения альтернатив с определенными оценками.

Пусть, например, требуется построить функции полезности для выбора лучшего варианта некоторого производственного оборудования. Оборудование оценивается по нескольким критериям (производительность, стоимость, время безотказной работы и т. д.). Для построения функций полезности ЛПР, как правило, должен указать наиболее желательную и наименее желательную оценки по каждому из критериев. Чтобы построить функции полезности, более точно отражающие суждения ЛПР, от него потребуется ответить на ряд вопросов примерно следующего вида: “Какой вариант оборудования лучше: с производительностью 20 изделий в час и стоимостью 60 тыс ден. ед. или с производительностью 30 изделий в час и стоимостью 90 тыс ден. ед.?”.

Существуют различные методики построения функций полезности. Они подробно рассмотрены в [1,11].

Методы анализа и выбора решений на основе функций полезности имеют следующие достоинства:

*  хорошая теоретическая обоснованность: разработан строгий математический аппарат (не рассматриваемый в данном пособии), описывающий свойства функций полезности и правила их построения. По степени теоретической обоснованности методы на основе функций полезности превосходят все остальные методы многокритериального анализа альтернатив;

*  высокая степень учета суждений ЛПР о предпочтительности альтернатив;

*  алгоритмы на основе функций полезности реализованы в ряде действующих компьютерных систем поддержки принятия решений (СППР).

В то же время рассматриваемые методы имеют следующие недостатки:

*  сложность получения от ЛПР информации, необходимой для построения функций полезности (особенно — информации о компенсациях одних критериев другими);

*  применение функций полезности затрудняется при использовании критериев с оценками, отличными от числовых (словесные оценки, оценки “да-нет”, оценки в виде ранжирований альтернатив и т. д.).

Ниже рассматривается одна из методик анализа и выбора альтернатив, основанная на применении функций полезности. В данной методике используется простейшая функция полезности — линейная. Функции полезности имеют следующий вид:

*  для критериев, подлежащих максимизации:

*  для критериев, подлежащих минимизации:

Где Xij – оценка j-й альтернативы по i-му критерию;

, – наиболее желательное и наименее желательное значение i‑го критерия (эти величины, как правило, указываются ЛПР и представляют собой субъективные суждения);

S – штрафной коэффициент, используемый для вычисления мер полезности альтернатив, у которых оценки хуже, чем наименее желательное значение по данному критерию (обычно используются значения S от 5 до 10);

Pij – мера полезности j-й альтернативы по i-му критерию.

Таким образом, предполагается, что полезность альтернативы пропорциональна ее оценкам по каждому из критериев (чем ближе оценка альтернативы к наиболее желательному значению, тем выше ее полезность). Графическое представление функций полезности показано на рис.1.1 (слева – для критерия, подлежащего максимизации, справа – для подлежащего минимизации).

Наиболее и наименее желательные значения каждого критерия указываются экспертом или ЛПР. В качестве наиболее желательного значения указывается значение критерия, Полностью удовлетворяющее ЛПР. В качестве наименее желательного указывается Предельно допустимое значение критерия; если альтернатива имеет оценку хуже наименее желательной, то она считается Неприемлемой.

Если ЛПР затрудняется указать наиболее желательное (наименее желательное) значение критерия, то вместо него используется наилучшая (наихудшая) из имеющихся оценок альтернатив по соответствующему критерию.

Если оценка альтернативы по некоторому критерию Лучше наиболее желательного значения данного критерия, указанного ЛПР, то мера полезности альтернативы по данному критерию принимается равной единице (так как предполагается, что значение, указанное в качестве наиболее желательного, вполне удовлетворяет ЛПР, и более высокие оценки не требуются). Поэтому такие оценки не дают альтернативе преимущества над другими альтернативами.

Если оценка альтернативы по некоторому критерию Хуже наименее желательного значения данного критерия, указанного ЛПР, то мера полезности для такой альтернативы оказывается большим отрицательным числом (за счет умножения на штрафной коэффициент S). В результате такого “штрафа” альтернатива будет иметь низкую обобщенную меру полезности, рассчитываемую на основе мер полезности по отдельным критериям.

Для построения функций полезности указанного вида достаточно выяснить у ЛПР наиболее желательное и наименее желательное значение каждого из критериев. Как правило, для ЛПР не составляет сложностей указать эти величины. Недостаток таких функций полезности состоит в том, что они могут не в полной мере отражать суждения ЛПР.

Приведем пример случая, когда система предпочтений ЛПР не может быть отражена линейной функцией полезности. Пусть предприятие при выборе кандидатов на некоторую должность учитывает (среди других критериев) возраст кандидата. Наиболее предпочтительными считаются кандидаты в возрасте от 25 до 40 лет; кандидаты в возрасте от 40 до 50 лет рассматриваются как менее желательные, а лица моложе 25 или старше 50 лет на данную должность не принимаются. Для представления такой системы предпочтений требуется использовать кусочно-линейную или ступенчатую функцию полезности.

Примечание. Методика анализа альтернатив и выбора решений, аналогичная рассматриваемой, реализована в СППР LIGHTYEAR, рассмотренной в первой части данного пособия.

Важное достоинство рассматриваемой методики — возможность ее применения для выбора решений в условиях риска и неопределенности, т. е. в условиях, когда оценки альтернатив могут изменяться в зависимости от некоторых внешних факторов.

Пример. Предприятие, выпускающее три вида красок, предполагает приобрести новую технологическую линию. Имеется возможность приобрести одну из трех линий (Л1,Л2,Л3). Характеристики линий приведены в табл.1.30.

Таблица 1.30

Л1

Л2

Л3

Производительность, кг/ч

· при выпуске красок для наружных работ

· при выпуске красок для внутренних работ

· при выпуске красок для металлических поверхностей

120

90

60

150

130

120

130

90

80

Себестоимость продукции, ден. ед./кг

· краска для наружных работ

· краска для внутренних работ

· краска для металлических поверхностей

25

20

20

20

15

18

18

15

15

Периодичность технического обслуживания, ч

· при выпуске красок для наружных работ

· при выпуске красок для внутренних работ

· при выпуске красок для металлических поверхностей

20

30

20

60

50

50

50

40

50

Стоимость линии, тыс ден. ед.

180

320

250

Примечание. Периодичность технического обслуживания — время работы линии между ее остановками для технического обслуживания (например, для чистки оборудования). Чем больше это время, тем лучше.

Известно, что примерно 60% заказов на выпуск краски, поступающих на предприятие, составляют заказы на краску для наружных работ, 30% — на краску для внутренних работ, 10% — на краску для металлических поверхностей.

Выберем рациональный вариант технологической линии, используя методику анализа альтернатив с использованием функций полезности.

Данная задача представляет собой задачу многокритериального выбора в условиях риска, так некоторые характеристики альтернатив (производительность, себестоимость продукции и периодичность технического обслуживания) зависят от внешних условий, т. е. от вида заказов на краску. Здесь имеются три варианта внешних условий (три вида красок, которые могут выпускаться). Следует обратить внимание, что выбор внешних условий невозможен: предприятие должно выпускать ту краску, на которую поступит заказ.

Для удобства записи хода решения будем обозначать критерии “производительность”, “себестоимость продукции”, “периодичность технического обслуживания” и “стоимость линии ”как К1, К2, К3, К4 соответственно. Обозначим также внешние условия (выпуск краски для наружных работ, для внутренних работ и для металлических поверхностей) как U1,U2,U3.

Выбор рационального решения на основе методики анализа альтернатив с использованием функций полезности реализуется следующим образом.

1. Строятся функции полезности. Для этого требуется выяснить у ЛПР наиболее желательное и наименее желательное значение каждого из критериев. Пусть от ЛПР получены следующие оценки (табл.1.31).

Таблица 1.31

Критерий

Производи-тельность

Себестоимость продукции

Периодичность технического обслуживания

Стоимость линии

Наиболее желательное значение

Чем выше, тем лучше

10

50

200

Наименее желательное значение

70

20

15

350

В данном случае ЛПР не указал наиболее желательную оценку по критерию “производительность”. В качестве такой оценки будет использоваться величина 150 (наилучшая из имеющихся оценок).

В случаях, когда оценка альтернативы хуже, чем указанная ЛПР наименее желательная оценка, будем использовать штрафной коэффициент S=10.

Таким образом, функции полезности имеют следующий вид:

*  по критерию “производительность”:

;

*  по критерию “себестоимость продукции”:

;

*  по критерию “периодичность технического обслуживания”:

;

*  по критерию “стоимость линии”:

.

Графики функций полезности приведены на рис.1.2.

2. С помощью одного из методов экспертных оценок определяются веса (коэффициенты важности) критериев с точки зрения ЛПР.

Примечание. В рассматриваемой методике для оценки важности критериев используются веса двух видов: отражающие систему предпочтений ЛПР (обозначаются как V1i, i=1,…,M) и определяемые на основе разброса оценок (, i=1,…,M, m=1,…,L, где m — номер варианта внешних условий, L – количество таких вариантов; в данной задаче L=3).

Пусть оценка важности критериев выполняется одним экспертом, и он использовал шкалу Саати. Матрица сравнений критериев приведена в табл.1.32.

Таблица 1.32

К1

К2

К3

К4

К1

1

3

9

5

К2

1/3

1

7

4

К3

1/9

1/7

1

1/6

К4

1/5

1/4

6

1

Выполнив обработку матрицы парных сравнений по алгоритму Саати, найдем веса критериев: V11 = 0,31, V12 = 0,28, V13 = 0,17, V14=0,25. Таким образом, по мнению эксперта, наиболее важным критерием является производительность, следующим по важности – себестоимость продукции, затем – стоимость линии, наименее важный критерий – периодичность технического обслуживания.

Шаги 3 — 6 выполняются для каждого из вариантов внешних условий.

Рассмотрим анализ альтернатив для первого варианта условий, т. е. при выпуске красок для наружных работ (m=1).

3. Находятся веса критериев, отражающие разброс оценок.

Примечание. Применяемый в данной методике способ определения весов критериев на основе разброса оценок полностью аналогичен способу, применяемому в методике скаляризации векторных оценок (см. подраздел 1.5). Единственное отличие состоит в том, что в данной методике вместо безразмерных оценок используются исходные оценки альтернатив (в данном примере – оценки, приведенные в табл.1.30).

Веса определяются в следующем порядке.

*  Находятся средние оценки по каждому критерию:

i=1,…,M,

Где M — количество критериев;

N — количество альтернатив;

— оценки альтернатив.

Для данного примера: =(120+150+130)/3=133,33; =(25+20+18)/3=21; =43,33; =250.

*  Находятся величины разброса по каждому критерию:

i=1,…,M.

Для данного примера:

;

=0,13; =0,36; =0,19.

*  Находится сумма величин разброса:

.

Для данного примера R1 = 0,08+0,13+0,36+0,19 = 0,76.

*  Находятся веса критериев, отражающие разброс оценок:

i=1,…,M.

Для данного примера =0,08/0,76=0,11; =0,17; =0,47; =0,25.

4. Находятся усредненные веса критериев:

i=1,…,M,

Где a и b – коэффициенты доверия к весам, отражающим важность критериев с точки зрения ЛПР (V1i), и к весам, полученным на основе разброса значений ().

Для коэффициентов a и b должно выполняться условие a+b=1. Значения a и b назначаются в зависимости от того, какие оценки важности критериев (указанные ЛПР или найденные на основе разброса) требуется учесть в большей степени. Обычно используются значения a=b=0,5.

В данном примере =0,22; =0,32; =0,25.

5. На основе функций полезности, построенных на шаге 1, находятся меры полезности альтернатив по каждому из критериев для рассматриваемого (m‑го) варианта внешних условий: , i=1,…,M, j=1,…,N. Меры полезности (для первого варианта внешних условий) приведены в табл.1.33.

Таблица 1.33

Л1

Л2

Л3

К1

0,63

1,00

0,75

К2

-5,00

0,00

0,20

К3

0,14

1,00

1,00

К4

1,00

0,20

0,67

Здесь, например, величина (мера полезности альтернативы Л1 по критерию “производительность” для первого варианта внешних условий) найдена следующим образом: =(120-70)/(150-70)=0,63.

Величина (мера полезности линии Л1 по критерию “себестоимость продукции”) найдена следующим образом: =10×(1– (25–10)/(20–10)) = –5, где 10 – штрафной коэффициент. Таким образом, мера полезности оказалась большим отрицательным числом; оно является “штрафом” за то, что оценка альтернативы Л1 по критерию “себестоимость продукции” (25) Хуже, чем указанное ЛПР наименее желательное значение данного критерия (20).

Величина (мера полезности линии Л2 по критерию “периодичность технического обслуживания”) равна единице, так как оценка линии Л2 по данному критерию (60) Лучше, чем указанное ЛПР наиболее желательное значение критерия (50). По этой же причине =1: оценка линии Л1 по критерию “стоимость линии” (180) лучше, чем наиболее желательное значение данного критерия (200).

6. Находятся обобщенные меры полезности альтернатив для рассматриваемого варианта внешних условий:

, j=1,…,N.

В обобщенной мере полезности для каждой альтернативы учитываются меры полезности по каждому из критериев, а также оценки важности (веса) критериев.

Для данного примера обобщенные меры полезности следующие:

=0,21×0,63+0,22×(-5)+0,32×0,14+0,25×1= –0,7;

=0,21×1+0,22×0+0,32×1+0,25×0,2=0,58;

=0,21×0,75+0,22×0,2+0,32×1+0,25×0,67=0,69.

Шаги 3-6 повторяются для всех вариантов внешних условий.

Приведем результаты для второго варианта внешних условий (выпуск краски для внутренних работ).

Веса критериев, отражающие разброс оценок: =0,26; =0,2; =0,25; =0,28.

Усредненные веса критериев=0,28; =0,24; =0,21; =0,27.

Меры полезности альтернатив по каждому из критериев () приведены в табл.1.34.

Таблица 1.34

Л1

Л2

Л3

К1

0,25

0,75

0,25

К2

0,00

0,50

0,50

К3

0,43

1,00

0,71

К4

1,00

0,20

0,67

Обобщенные меры полезности: =0,43; =0,6; =0,52.

Приведем результаты для третьего варианта внешних условий (выпуск краски для металлических поверхностей).

Веса критериев, отражающие разброс оценок: =0,29; =0,11; =0,38; =0,21.

Усредненные веса критериев: =0,3; =0,2; =0,27; =0,23.

Меры полезности альтернатив по каждому из критериев () приведены в табл.1.35.

Таблица 1.35

Л1

Л2

Л3

К1

-1,25

0,63

0,13

К2

0,00

0,20

0,50

К3

0,14

1,00

1,00

К4

1,00

0,20

0,67

Обобщенные меры полезности:

7. Обобщенные меры полезности, полученные для всех вариантов внешних условий, сводятся в матрицу “альтернативы-условия” размерностью NxL, где N – количество альтернатив, L – количество вариантов внешних условий. Матрица “альтернативы-условия” приведена в табл.1.36.

Таблица 1.36

U1

U2

U3

Л1

-0,70

0,43

-0,10

Л2

0,58

0,60

0,55

Л3

0,69

0,52

0,56

Чем больше обобщенная мера полезности, тем лучше соответствующая альтернатива. Поэтому матрицу “альтернативы-условия” можно рассматривать как матрицу выигрышей.

8. На основе обобщенных мер полезности выбирается рациональная альтернатива. Так как в данной задаче требуется учитывать оценки альтернатив в нескольких вариантах внешних условий, для выбора альтернативы применяются критерии для принятия решений в условиях риска и неопределенности. Выбор решения может осуществляться по-разному в зависимости от имеющейся информации о внешних условиях.

В данной задаче известны вероятности внешних условий: примерно 60% времени технологическая линия работает в первом варианте условий (т. е. выпускает краску для наружных работ), 30% — во втором (выпускает краску для внутренних работ), 60% — в третьем (выпускает краску для металлических поверхностей). Выбор решения при известных вероятностях внешних условий называется принятием решения в условиях риска. В этом случае для выбора решения применяется Критерий Байеса (критерий максимума среднего выигрыша). Для каждой альтернативы находится средняя обобщенная мера полезности с учетом вероятностей внешних условий:

, j=1,…,N,

Где Pm — вероятности внешних условий.

Для данного примера: Z1=(–0,7)×0,6+0,43×0,3+(–0,1)×0,1= –0,3; Z2=0,58; Z3=0,62. Таким образом, в качестве рационального решения следует выбрать линию Л3.

Во многих случаях вероятности внешних условий неизвестны (выбор решения в этом случае называется принятием решения В условиях неопределенности). В таких условиях для выбора решения могут применяться следующие критерии.

Критерий Лапласа: решение принимается на основе предположения о том, что все варианты внешних условий равновероятны. Для каждой альтернативы находится средняя обобщенная мера полезности:

, j=1,…,N,

В данном примере Z1=(–0,7+0,43–0,1)/3= –0,12; Z2=0,57; Z3=0,59. Таким образом, если заказы на все виды красок поступают примерно с одинаковой частотой, то предприятию следует выбрать линию Л3.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма): решение принимается в расчете на худший вариант внешних условий. При этом необходимо учитывать, что обычно для разных альтернатив наихудшими являются разные варианты внешних условий (например, для одной технологической линии Наименее подходящим является выпуск краски для наружных работ, для другой – выпуск краски для металлических поверхностей). Для каждой альтернативы находится минимальная обобщенная мера полезности, т. е. оценка для варианта внешних условий, который является для данной альтернативы наихудшим:

j=1,…,N,

В данном примере Z1=min(–0,7; 0,43; –0,1)= –0,7; Z2=0,55; Z3=0,52. Таким образом, если предприятие желает сделать наиболее осторожный выбор, то ему следует приобрести линию Л2.

Критерий Гурвица: решение принимается с учетом того, что возможны как благоприятные, так и неблагоприятные внешние условия. Для каждой альтернативы находится обобщенная мера полезности, в которой учитываются оценки как для наилучших, так и для наихудших внешних условий:

j=1,…,N,

Где a – коэффициент пессимизма (0 £ a £ 1), выбираемый из субъективных соображений. Чем больше требуется учитывать возможность неблагоприятных внешних условий, тем большим выбирается значение коэффициента пессимизма.

Пусть при выборе технологической линии требуется в равной степени учесть возможность как благоприятных, так и неблагоприятных внешних условий. Для этого выберем коэффициент пессимизма a=0,5. Найдем меры полезности альтернатив: Z1=0,5×(–0,7)+0,5×0,43= –0,13; Z2=0,57; Z2=0,6. Таким образом, предприятию следует приобрести линию Л3.

Рассмотренная методика может применяться и для принятия решений в Условиях определенности, т. е. в случаях, когда внешние условия точно известны. Пусть, например, предприятие планирует выпускать только краску для наружных работ. В этом случае достаточно найти обобщенные оценки полезности альтернатив только для указанного варианта внешних условий: Q1= ‑0,70; Q2=0,58; Q3=0,69. Таким образом, следует выбрать линию Л3.