Главная / Математический анализ / Приложения интеграла: длина дуги кривой

Приложения интеграла: длина дуги кривой

Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем непрерывны на .


Пусть имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки.

Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется Спрямляемой или имеющей длину).

Теорема. При сформулированных выше условиях (т. е. если кривая – незамкнутая и без точек самопересечения, причем ее параметризация задается непрерывно дифференцируемыми функциями от ) кривая имеет длину .

Доказательство. Рассмотрим вписанную ломаную и соответствующие ей точки деления отрезка . Длина ломаной равна (под знаком суммы стоит длина -го звена).


Применим к каждой из разностей и теорему Лагранжа, согласно которой , , где точки и лежат на интервале . Поэтому длина вышеупомянутой ломаной есть (1). Эта величина напоминает соответствующую интегральную сумму (2) (различие только в том, что в (1) стоят точки , в (2) – только ).

Требуется доказать, что при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной линии разность реличин и стремится к 0.

Можно доказать (но мы это оставим без строгого доказательства), что стремление к 0 максимальной длины звена ломаной эквивалентно стремлению к 0 диаметров соответствующих разбиений отрезка .

Итак, будем доказывать, что при . Для этого заметим, что (3).

Последний переход сделан на основании элементарного неравенства , т. к. , .

По условию, функция непрерывна на , следовательно, по теореме Кантора, — равномерно непрерывна на , поэтому разбиения с условием . Тогда .

Поскольку интегральные суммы стремятся к при , существует предел длины ломаных, причем этот предел равен указанному интегралу и теорема доказана.

Следствие 1. Если кривая задана Явным уравнением , то формула принимает вид .

Доказательство. Сводим к предыдущему случаю: .

Следствие 2. Если кривая задана Полярным уравнением , , то .

Доказательство. Положим , . Тогда , , , и можно применить формулу из доказанной теоремы.

Примечание. В случае трехмерной кривой , , где — непрерывно дифференцируемые функции, .