Главная / Математический анализ / Необходимое условие существования интеграла

Необходимое условие существования интеграла

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

Доказательство. Возьмем в определении интеграла и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех функция ограничена на отрезке , т. е. . Действительно, тогда для имеем при : , т. к. X входит в некоторый отрезок и, значит .

Выберем любое и представим интегральную сумму в виде (1).

Зафиксируем произвольным образом числа выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом (2).

По условию, функция интегрируема, значит , т. е. , или . Откуда, учитывая (2), , , (3).

Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.