Теорема. Если функция 
интегрируема на отрезке 
, то она ограничена на .
Доказательство. Возьмем в определении интеграла 
и рассмотрим соответствующее ему 
. Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию 
. Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех 
функция ограничена на отрезке 
, т. е. 
. Действительно, тогда для 
имеем при 
: 
, т. к. X входит в некоторый отрезок и, значит 
.
Выберем любое и представим интегральную сумму 
в виде
(1).
Зафиксируем произвольным образом числа 
выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом 
(2).
По условию, функция интегрируема, значит 
, т. е. 
, или 
. Откуда, учитывая (2), 
, 
, 
(3).
Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от 
. Поэтому неравенства (3) означают, что 
. Теорема доказана.