Теорема. Пусть 
— замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело 
в пространстве. Пусть выбрана Внешняя сторона . Пусть 
— функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда 
. Равносильная формулировка: 
, где 
— Внешняя нормаль к .
Доказательство. Предположим, что ограничено сверху 
— графиком функции 
, снизу 
— 
, 
, а сбоку – цилиндрической поверхностью 
.
Вычислим 
, т. к. на внешняя нормаль составляет с осью 
тупой угол.
Далее, на 
и можно добавить к сумме слагаемое 
.
Итак, 
.
Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей 
и цилиндрической поверхности, то 
,и, при аналогичных условиях, 
.
Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .
Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел 
, разделенных гладкими поверхностями 
, причем эти тела 
удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть 
.
Тогда 
. Каждый из интегралов 
преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как 
, где взяты Внешние стороны поверхностей 
.
Поверхности 
имеют общую часть 
, причем их внешние нормали на Противоположны и интегралы по от 
взаимно сократятся, поэтому 
.
Тем самым, теорема доказана.