Теорема. Пусть — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело
в пространстве. Пусть выбрана Внешняя сторона
. Пусть
— функции, имеющие непрерывные производные на
. Тогда
. Равносильная формулировка:
, где
— Внешняя нормаль к
.
Доказательство. Предположим, что ограничено сверху
— графиком функции
, снизу
—
,
, а сбоку – цилиндрической поверхностью
.
Вычислим
, т. к. на
внешняя нормаль составляет с осью
тупой угол.
Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое
.
Итак, .
Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей
и цилиндрической поверхности, то
,и, при аналогичных условиях,
.
Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то
.
Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел
, разделенных гладкими поверхностями
, причем эти тела
удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть
.
Тогда . Каждый из интегралов
преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как
, где взяты Внешние стороны поверхностей
.
Поверхности имеют общую часть
, причем их внешние нормали на
Противоположны и интегралы по
от
взаимно сократятся, поэтому
.
Тем самым, теорема доказана.