Главная / Математический анализ / Связь с вопросом о полном дифференциале

Связь с вопросом о полном дифференциале

Если — дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на существует такая функция , что , т. е. . В предположении непрерывности смешанных производных: или . Докажем, что если — односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если в односвязной области , то существует такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим переменную точку и любую кривую , соединяющую с .

По следствию теоремы 2, зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что — искомая функция, т. е. . Для этого рассмотрим точку и рассмотрим , где — отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке и . Применяя Теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что , где . Тогда . . Для доказательство аналогичное.

Замечание. Если векторное поле обладает свойством в односвязной области , то говорят, что — потенциальное поле и найденная функция такая, что , т. е. , называется Потенциалом поля .

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если соединяет , то работа вдоль равна . Т. е. работа равна Разности потенциалов.

Примечание. Условие Односвязности существенно.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т. о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит .

Рассмотрим — окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.