Главная / Математический анализ / Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля

Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть — векторное поле, — двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т. е. нормаль . Назовем Потоком вектора через поверхность в указанную сторону.

Этот термин совпадает со следующей гидродинамической задачей. Пусть — вектор скорости течения жидкости в момент . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности за момент времени . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием и высотой , т. е. этот объем равен .

Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, Поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.

Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем Дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

. Здесь — скалярное поле и символ обозначает скалярное произведение этих векторов.

Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где — непрерывно дифференцируемое векторное поле, — замкнутая поверхность, ограничивающая объем и — вектор внешней нормали.

Левая часть формулы имеет вид , т. е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

При сформулированных выше условиях .

Понятие можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где — вышеупомянутый шар, а — внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая Непрерывность ): , где — близкая к точка. При и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат Не фигурирует.

Если считать вектором скорости жидкости, то — это плотность источника.