Пусть дана функция 
и предположим, что переменные 
удовлетворяют уравнениям связи 
(1).
Определение. В точке 
, удовлетворяющей уравнениям (1) функция имеет условный минимум (максимум) если неравенство 
(
) выполняется в некоторой окрестности точки 
для всех точек 
, удовлетворяющих (1).
Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции 
и 2-х уравнений связи 
. Предположим, что 
обладают непрерывными частными производными, причем ранг матрицы 
равен 2. Для определенности, пусть 
. Тогда по определению теоремы о системе неявных уравнений 
, 
, где 
— непрерывные дифференцируемые функции и понятие условного экстремума функции совпадает с экстремумом функции 
. Стало быть, должны выполняться условия 
, 
, т. е. 
(2). Иными словами, 
, 
. Для нахождения 
воспользуемся уравнениями связи 
(3).
Из этой системы можно Линейно выразить 
и 
через 
и 
, что и дает искомое выражение для 
.
Есть, однако, специальный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без решения этой системы. По инвариантности формы дифференциала, условие равносильно условию 
, т. е. 
(4). Умножим уравнения (3) на 
и 
соответственно и сложим с (4): 
(5).
Выберем и так, чтобы коэффициенты при и одновременно обращались в 0. Это можно сделать потому, что определитель системы 
(6) не равен 0.
Тогда (5) примет вид 
, где 
— дифференциалы Независимых переменных. Поэтому и 
(7).
Таким образом, необходимые условия экстремума вспомогательной функции 
совпадают с уравнениями (6) и (7) и, тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума.
Достаточные условия получаются при исследовании 2-го дифференциала.
Пример 1. Найти экстремум функции 
при условии 
.
Дадим 2 решения этой задачи.
Решение 1 основано на том, что уравнение связи можно решить: 
и получить, соответственно, 2 функции от 
: 
, 
. Первая из них имеет максимум в точке 
, вторая – минимум в точке 
.
Решение 2. Строим 
. 
, 
.
При 
получаем 
, 
. При 
.
Выясним, что происходит в этих точках. С этой целью найдем 
. 
. Из условия следует 
, 
и в точке 
, т. е. 
. В точке 
, т. е. снова . Поэтому 
, и в точке 
получается: 
, т. е. максимум, а в точке – получается 
, т. е. минимум.