Пусть дана функция и предположим, что переменные
удовлетворяют уравнениям связи
(1).
Определение. В точке , удовлетворяющей уравнениям (1) функция
имеет условный минимум (максимум) если неравенство
(
) выполняется в некоторой окрестности точки
для всех точек
, удовлетворяющих (1).
Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции и 2-х уравнений связи
. Предположим, что
обладают непрерывными частными производными, причем ранг матрицы
равен 2. Для определенности, пусть
. Тогда по определению теоремы о системе неявных уравнений
,
, где
— непрерывные дифференцируемые функции и понятие условного экстремума функции
совпадает с экстремумом функции
. Стало быть, должны выполняться условия
,
, т. е.
(2). Иными словами,
,
. Для нахождения
воспользуемся уравнениями связи
(3).
Из этой системы можно Линейно выразить и
через
и
, что и дает искомое выражение для
.
Есть, однако, специальный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без решения этой системы. По инвариантности формы дифференциала, условие равносильно условию
, т. е.
(4). Умножим уравнения (3) на
и
соответственно и сложим с (4):
(5).
Выберем и
так, чтобы коэффициенты при
и
одновременно обращались в 0. Это можно сделать потому, что определитель системы
(6) не равен 0.
Тогда (5) примет вид , где
— дифференциалы Независимых переменных. Поэтому и
(7).
Таким образом, необходимые условия экстремума вспомогательной функции совпадают с уравнениями (6) и (7) и, тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума.
Достаточные условия получаются при исследовании 2-го дифференциала.
Пример 1. Найти экстремум функции при условии
.
Дадим 2 решения этой задачи.
Решение 1 основано на том, что уравнение связи можно решить: и получить, соответственно, 2 функции от
:
,
. Первая из них имеет максимум в точке
, вторая – минимум в точке
.
Решение 2. Строим .
,
.
При получаем
,
. При
.
Выясним, что происходит в этих точках. С этой целью найдем .
. Из условия
следует
,
и в точке
, т. е.
. В точке
, т. е. снова
. Поэтому
, и в точке
получается:
, т. е. максимум, а в точке
– получается
, т. е. минимум.