Главная / Математический анализ / Приложения интеграла: объем тела

Приложения интеграла: объем тела

Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется Кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.

Теорема. Если представляет собой прямой цилиндр высоты , в основании которого лежит квадрируемая фигура с площадью , то — кубируема, причем .

Доказательство. Пусть . Рассмотрим многоугольники такие, что .

Построим содержащийся в и содержащий многогранники высотой , в основании которых лежат, соответственно, и . Тогда объемы этих многогранников отличаются на . Ввиду произвольности , теорема доказана.

Теорема. Пусть — пространственное тело, а оси расположены так, что любое сечение, перпендикулярное оси этого тела представляет собой квадрируемую фигуру с площадью , причем для любых проекция одного из сечений на плоскость целиком содержится в проекции другого сечения. Тогда — кубируемое тело, и .

Доказательство. Для произвольного разбиения отрезка суммы Дарбу представляют собой объемы тел, содержащихся внутри (нижняя сумма Дарбу) и содержащих (верхняя сумма Дарбу). Поскольку интегрируема, при измельчении разбиения разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю. Это означает, что имеет объем, причем .

Следствие. Объем тела, полученного вращением вокруг оси графика функции равен .

Доказательство. Площадь круга радиуса равна .