Главная / Математический анализ / Свойства двойных интегралов

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если — интегрируемые на функции, а — числа, то . Иными словами, Интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если — интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если — интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если — интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если — интегрируемая на функция, то — также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если — интегрируемая на функция, причем , где — ограничивающие множество значений числа, то ( — площадь ), т. е. : . Если, кроме того, — непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам Обычного интеграла.

Можно доказать, что если — непрерывная на функция, то — интегрируема на .

Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на квадрируемые области, то — интегрируема на , т. к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (где — непрерывна и, значит, интегрируема).

Вычисление двойных интегралов

Теорема (Фубини). Пусть непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу — , , а по бокам –

Отрезками вертикальных прямых и . Тогда .

Без доказательства.

Замечание. Если область можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где — непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т. п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что и — непрерывно дифференцируемые в функции.

Пусть при этом формулы задают Взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области не равнялся 0.

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку — непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой “почти параллелограмм”.

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т. е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т. к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

Пример. Переход к полярным координатам.

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим Пример. Найти .

Решение. — это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т. к. при справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где — квадрат, а

Четверти круга, соответственно, радиусов . Т. к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле п перейдем к полярным координатам:

. Аналогично, и . При стремлении получаем, что , т. е. .

Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема. Пусть задана следующими неравенствами: , . — квадрируемая область на плоскости, — непрерывные. Тогда

Замечание. Если область задана неравенствами , где — непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции — непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть — непрерывная на функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен .

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен (разложение по 3-й строке) (выделим общие множители у столбцов) .