Пусть определена в окрестности точки
. Будем говорить, что
— Точка минимума (строгого), если для всех
из некоторой проколотой окрестности
. Точка
— Точка максимума, если для всех
. Точки минимума а максимума обычно называются Точками экстремума.
Теорема. Если — точка экстремума и существует
, то
.
Доказательство. Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме -ой фиксированы и равны координатам точки
, а координата
меняется. Тогда функцию
можно рассматривать как функцию от одной переменной
, имеющую экстремум в точке
и дифференцируемую в этой точке. Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть
. Теорема доказана.
Замечание 1. Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.
Пример. ,
. Эта точка, очевидно, точка минимума, т. к. если хотя бы одно из чисел
отлично от 0, величина
. Но
и
, поэтому частные производные в точках
и
не существуют.
Замечание 2. Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и
, а также
как функция от
.
Замечание 3. В точке экстремума дифференцируемой функции касательная плоскость параллельна плоскости
.