Пусть 
определена в окрестности точки 
. Будем говорить, что 
— Точка минимума (строгого), если для всех 
из некоторой проколотой окрестности 
. Точка — Точка максимума, если для всех 
. Точки минимума а максимума обычно называются Точками экстремума.
Теорема. Если — точка экстремума и существует 
, то 
.
Доказательство. Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме 
-ой фиксированы и равны координатам точки , а координата 
меняется. Тогда функцию 
можно рассматривать как функцию от одной переменной , имеющую экстремум в точке 
и дифференцируемую в этой точке. Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть . Теорема доказана.
Замечание 1. Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.
Пример. 
, 
. Эта точка, очевидно, точка минимума, т. к. если хотя бы одно из чисел 
отлично от 0, величина 
. Но 
и 
, поэтому частные производные в точках 
и 
не существуют.
Замечание 2. Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и 
, а также 
как функция от 
.
Замечание 3. В точке экстремума дифференцируемой функции 
касательная плоскость параллельна плоскости 
.