Главная / Математический анализ / Экстремумы функций нескольких переменных

Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть определена в окрестности точки . Будем говорить, что Точка минимума (строгого), если для всех из некоторой проколотой окрестности . Точка Точка максимума, если для всех . Точки минимума а максимума обычно называются Точками экстремума.

Теорема. Если — точка экстремума и существует , то .

Доказательство. Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме -ой фиксированы и равны координатам точки , а координата меняется. Тогда функцию можно рассматривать как функцию от одной переменной , имеющую экстремум в точке и дифференцируемую в этой точке. Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть . Теорема доказана.

Замечание 1. Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.

Пример. , . Эта точка, очевидно, точка минимума, т. к. если хотя бы одно из чисел отлично от 0, величина . Но и , поэтому частные производные в точках и не существуют.

Замечание 2. Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и , а также как функция от .

Замечание 3. В точке экстремума дифференцируемой функции касательная плоскость параллельна плоскости .