Главная / Математический анализ / Криволинейные интегралы второго типа

Криволинейные интегралы второго типа

Рассмотрим, как и в параграфе 1, кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось X представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т. е. не обязательно дают Разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).

Пусть — определена на AB. Пусть — точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение. Пусть . Если , то говорят, что I — это Криволинейный интеграл второго типа .

Точно также, рассматривая проекции на ось Y, определим .

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. При условиях предыдущей теоремы .

Примечание 1.

A) Если кривая L задана явным уравнением , где — непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид: .

B) Если L задана уравнением , то .

C) Если L — отрезок прямой , то для любой функции P, если L — отрезок прямой , то для любой функции Q.

Примечание 2.

Пусть — угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси X. Тогда . Поэтому .

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где — непрерывные на функции, а F — непрерывна на L, то .

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем .

Примечание 4. Говорят, что на области задано Векторное поле , если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим — радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение) . Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.