Рассмотрим, как и в параграфе 1, кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.
Пусть проекция этой кривой на ось X представляет собой отрезок .
Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции
, лежащие на отрезке
и обозначим
.
(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так:
, т. е. не обязательно дают Разбиение отрезка
, поэтому некоторые
могут быть меньше 0!).
Пусть — определена на AB. Пусть
— точка, лежащая на кривой между
и
. Положим
.
Определение. Пусть . Если
, то говорят, что I — это Криволинейный интеграл второго типа
.
Точно также, рассматривая проекции на ось Y, определим .
Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.
Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. При условиях предыдущей теоремы
.
Примечание 1.
A) Если кривая L задана явным уравнением , где
— непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид:
.
B) Если L задана уравнением , то
.
C) Если L — отрезок прямой , то
для любой функции P, если L — отрезок прямой
, то
для любой функции Q.
Примечание 2.
Пусть — угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси X. Тогда
. Поэтому
.
Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на
. При этом
, и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.
Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где
— непрерывные на
функции, а F — непрерывна на L, то
.
Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем
.
Примечание 4. Говорят, что на области задано Векторное поле
, если каждой точке
сопоставлен вектор
. Обозначим
— радиус-вектор точки
и
. Тогда
(скалярное произведение)
. Поэтому
. Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы
вдоль кривой L.