Пусть 
дифференцируема в точке 
. Докажем, что существует Касательная плоскость к этой поверхности в точке и что она задается уравнением 
(1).
| По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке |
до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем 
при 
. При этом касательная имеет уравнение 
).Будем называть плоскость Касательной к поверхности в точке 
если расстояние от точки 
до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем 
при 
.
Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку : 
(2).
Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности 
до плоскости (2) равно 
(3). (вспомнить про Нормальное уравнение плоскости).
Если 
дифференцируема в точке , то положим в (2) 
(4) и заметим, что 
(5), где 
при 
. Тогда из (3), (4), (5) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть 
, что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем 
.
Обратно, если есть касательная плоскость (2), т. е. 
где 
при то, раскрывая модуль, получаем, что 
где при , т. е. 
— дифференцируемая в точке функция и 
, 
.
Итак: наличие касательной плоскости (2) к поверхности равносильно дифференцируемости в точке . При этом уравнение касательной имеет вид 
.
Вектор нормали к касательной плоскости называется Вектором нормали к поверхности и имеет координаты 
.