Главная / Математический анализ / Геометрические приложения: касательная плоскость

Геометрические приложения: касательная плоскость

Пусть дифференцируема в точке . Докажем, что существует Касательная плоскость к этой поверхности в точке и что она задается уравнением (1).

По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке , если расстояние от точки до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем при . При этом касательная имеет уравнение ).

Будем называть плоскость Касательной к поверхности в точке если расстояние от точки до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку : (2).

Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности до плоскости (2) равно (3). (вспомнить про Нормальное уравнение плоскости).

Если дифференцируема в точке , то положим в (2) (4) и заметим, что (5), где при . Тогда из (3), (4), (5) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть , что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем .

Обратно, если есть касательная плоскость (2), т. е. где при то, раскрывая модуль, получаем, что где при , т. е. — дифференцируемая в точке функция и , .

Итак: наличие касательной плоскости (2) к поверхности равносильно дифференцируемости в точке . При этом уравнение касательной имеет вид .

Вектор нормали к касательной плоскости называется Вектором нормали к поверхности и имеет координаты .