Главная / Математический анализ / Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Допустим, что — дифференцируемая в точке фунция, и , причем — дифференцируемые в точке функции. Положим . Тогда , где при .

В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке , положив . Тогда при (а может быть, и Принимает значения ). Но тогда (так как у нас доопределены в точке нулем) и , таким образом, (6).

Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях , (7).

Равенства (6) и (7) дают Правила вычисления производных сложных функций.

Следствие. Следствием этих правил является Инвариантность форм первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда .

Это означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных .