Теорема. Если , то
— интегрируема на
.
Доказательство. По теореме Кантора, равномерно непрерывна на
, т. е.
(1).
Рассмотрим разбиение отрезка
с диаметром меньшим, чем выбранное
. Тогда на каждом отрезке
имеет место неравенство:
(2).
Действительно, достаточно подобрать точку так, что
(3)
И точку так, чтобы
(4).
(Это можно сделать, т. к. числа — Точные грани множества значений). Тогда ввиду (1), (3), (4)
, и
. Неравенство (2) доказано. Тогда
. Т. о. критерий интегрируемости выполняется.
Теорема. Если не убывает (не возрастает) на
, то она интегрируема на
.
Доказательство. Пусть не убывает. Тогда на отрезке
выполняются равенства:
. Если
, то
— постоянная и ее интегрируемость очевидна (
). Если
, то положим
(5). Тогда если
, то
ввиду (5). Т. о. теорема доказана.