Главная / Математический анализ / Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции

Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции

Теорема. Если , то — интегрируема на .

Доказательство. По теореме Кантора, равномерно непрерывна на , т. е. (1).

Рассмотрим разбиение отрезка с диаметром меньшим, чем выбранное . Тогда на каждом отрезке имеет место неравенство:

(2).

Действительно, достаточно подобрать точку так, что

(3)

И точку так, чтобы (4).

(Это можно сделать, т. к. числа Точные грани множества значений). Тогда ввиду (1), (3), (4) , и . Неравенство (2) доказано. Тогда . Т. о. критерий интегрируемости выполняется.

Теорема. Если не убывает (не возрастает) на , то она интегрируема на .

Доказательство. Пусть не убывает. Тогда на отрезке выполняются равенства: . Если , то — постоянная и ее интегрируемость очевидна (). Если , то положим (5). Тогда если , то ввиду (5). Т. о. теорема доказана.