Теорема. Если 
, то 
— интегрируема на 
.
Доказательство. По теореме Кантора, равномерно непрерывна на , т. е. 
(1).
Рассмотрим разбиение 
отрезка с диаметром меньшим, чем выбранное 
. Тогда на каждом отрезке 
имеет место неравенство:
(2).
Действительно, достаточно подобрать точку 
так, что
(3)
И точку 
так, чтобы 
(4).
(Это можно сделать, т. к. числа 
— Точные грани множества значений). Тогда ввиду (1), (3), (4) 
, и 
. Неравенство (2) доказано. Тогда 
. Т. о. критерий интегрируемости выполняется.
Теорема. Если не убывает (не возрастает) на , то она интегрируема на .
Доказательство. Пусть не убывает. Тогда на отрезке выполняются равенства: 
. Если 
, то — постоянная и ее интегрируемость очевидна (
). Если 
, то положим 
(5). Тогда если 
, то 
ввиду (5). Т. о. теорема доказана.