Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.
Теорема 1. Пусть G — криволинейная трапеция: , где
— непрерывные на
функции, L — граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.
Пусть . Тогда
.
Знак означает, что контур интегрирования L — замкнутый.
Доказательство. Вычислим .
При каждом Фиксированном величина
определяется, как производная по Y функции от одной переменной Y, P(X,Y). Поэтому при каждом X применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой
. Поэтому
.
Разобъем кривую L на 4 участка.
Согласно C) из примечания 1 предыдущего параграфа, . По правилу из A) примечания 1,
. Поэтому
.
Теорема 2. Пусть G — криволинейная трапеция , где
— непрерывные на
функции, L — граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.
Пусть .
Тогда .
Доказательство.
. Теорема доказана.
Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где
— непрерывно дифференцируемые на
функции, так и в виде
, где
— непрерывно дифференцируемые на
функции, L — граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то
.
Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 — явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью
, можно задать так:
, а можно и так:
.
Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L — граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .
Доказательство.
Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части |
Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.