Формула грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G — криволинейная трапеция: , где — непрерывные на функции, L — граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования L — замкнутый.

Доказательство. Вычислим .

При каждом Фиксированном величина определяется, как производная по Y функции от одной переменной Y, P(X,Y). Поэтому при каждом X применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .

Разобъем кривую L на 4 участка.

Согласно C) из примечания 1 предыдущего параграфа, . По правилу из A) примечания 1, . Поэтому .

Теорема 2. Пусть G — криволинейная трапеция , где — непрерывные на функции, L — граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть .

Тогда .

Доказательство. . Теорема доказана.

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где — непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде , где — непрерывно дифференцируемые на функции, L — граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то .

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 — явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L — граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство.

Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда , поскольку — это часть L и кривая , а — остаток L и кривая , но проходимая в Противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

2021 (c) Учись Как На Парах!