Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.
Теорема 1. Пусть G — криволинейная трапеция: 
, где 
— непрерывные на 
функции, L — граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.
Пусть 
. Тогда 
.
Знак 
означает, что контур интегрирования L — замкнутый.
Доказательство. Вычислим 
.
При каждом Фиксированном 
величина 
определяется, как производная по Y функции от одной переменной Y, P(X,Y). Поэтому при каждом X применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой 
. Поэтому 
.
Разобъем кривую L на 4 участка.
Согласно C) из примечания 1 предыдущего параграфа, 
. По правилу из A) примечания 1, 
. Поэтому 
.
Теорема 2. Пусть G — криволинейная трапеция 
, где 
— непрерывные на 
функции, L — граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.
Пусть 
.
Тогда 
.
Доказательство. 
. Теорема доказана.
Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где — непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде , где — непрерывно дифференцируемые на функции, L — граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то 
.
Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 — явление обычное. Например, круг 
, ограниченный окружностью 
, можно задать так: 
, а можно и так: 
.
Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L — граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .
Доказательство.
| Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части |
. Пусть 
ограничивает 
, а 
ограничивает 
. Тогда 
, поскольку Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.