Пусть имеет непрерывные производные в области
. Тогда
(1).
При этом, если — Независимые переменные, то
можно считать Постоянными величинами, на зависящими от
. Поэтому
.
Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению
(2).
Здесь мы воспользовались тем, что . Например, при
, при
.
Вообще, легко заметить, что используя формальную операторную запись, (3).
Аналогично, полагая , находим:
(4) в предположении, что для
существуют частные производные до
-го порядка включительно.
Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.
Отметим, что если (т. е. переменные
не Независимые, а представляют собой функции от других переменных), то
, вообще говоря, не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения. Именно, вместо (3) в этом случае верна формула
(5). «Добавок» по отношению к (3) получается из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае
.
Однако, если (6), то
и
. Поэтому в случае Линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.