Пусть 
имеет непрерывные производные в области 
. Тогда 
(1).
При этом, если 
— Независимые переменные, то 
можно считать Постоянными величинами, на зависящими от 
. Поэтому 
.
Пусть 
имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению 
(2).
Здесь мы воспользовались тем, что 
. Например, при 
, при 
.
Вообще, легко заметить, что используя формальную операторную запись, 
(3).
Аналогично, полагая 
, находим: 
(4) в предположении, что для 
существуют частные производные до 
-го порядка включительно.
Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.
Отметим, что если 
(т. е. переменные 
не Независимые, а представляют собой функции от других переменных), то 
, вообще говоря, не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения. Именно, вместо (3) в этом случае верна формула 
(5). «Добавок» по отношению к (3) получается из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае 
.
Однако, если 
(6), то 
и 
. Поэтому в случае Линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.