Пусть мы снова рассматриваем график функции 
и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку 
плоскости 
и параллельными оси 
. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку 
. Проекция такой кривой на плоскость есть прямая линия, проходящая через точку 
. Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через 
, а точки прямой – буквами 
. Введем понятие Величины отрезка 
:
длине отрезка со знаком «+», если 
и 
имеют одинаковые направления;
длине отрезка со знаком «-», если и имеют противоположные направления.
Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление 
. Пусть для этой точки плоскости определена величина 
— функция от точки .
Важно отметить, что пока мы Не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат. Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например – пальцем (что не служит признаком хорошего воспитания)) и т. д.)
Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через в указанном направлении и соответствующую величину 
; Если существует предел этой величины при стремлении к вдоль прямой, то он называется Производной в точке по направлению и обозначается 
. Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть имеет координаты 
, — координаты 
, имеет координаты 
. Тогда, вводя параметризацию 
, 
, для прямой, соединяющей с , 
, получаем: 
(т. к. мы предположили, что 
— дифференцируема в ) 
. При 
и 
. Поэтому 
(1). Аналогично, в случае 3-х переменных 
(2).
Скалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить, как 
(3) (поскольку 
), где 
— угол между 
и заданным направлением .
Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда 
. Это позволяет определить градиент как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная по направлению достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, Не зависящую от наблюдателя.
Установим ряд важных свойств градиента: пусть 
и 
имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда
; 
; 
; Если 
, то 
; Если 
— функция от одной переменной, имеющая производную, то 
.
Доказательства всех этих свойств вполне аналогичны. Разберем, например, свойство (3). Пусть, для определенности, 
. Тогда, по правилам дифференцирования, 
, 
, 
и 
.
Пусть 
, 
. Найдем 
.
Для часто встречающихся в физике радиальных функций 
согласно свойству (5) получаем: 
.