Пусть мы снова рассматриваем график функции и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку
плоскости
и параллельными оси
. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку
. Проекция такой кривой на плоскость
есть прямая линия, проходящая через точку
. Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через
, а точки прямой – буквами
. Введем понятие Величины отрезка
:
длине отрезка
со знаком «+», если
и
имеют одинаковые направления;
длине отрезка
со знаком «-», если
и
имеют противоположные направления.
Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление
. Пусть для этой точки плоскости определена величина
— функция от точки
.
Важно отметить, что пока мы Не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат. Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например – пальцем (что не служит признаком хорошего воспитания)) и т. д.)
Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через
в указанном направлении
и соответствующую величину
; Если существует предел этой величины при стремлении
к
вдоль прямой, то он называется Производной
в точке
по направлению и обозначается
. Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть
имеет координаты
,
— координаты
,
имеет координаты
. Тогда, вводя параметризацию
,
, для прямой, соединяющей
с
,
, получаем:
(т. к. мы предположили, что
— дифференцируема в
)
. При
и
. Поэтому
(1). Аналогично, в случае 3-х переменных
(2).
Скалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить, как (3) (поскольку
), где
— угол между
и заданным направлением
.
Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда . Это позволяет определить градиент как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная по направлению достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, Не зависящую от наблюдателя.
Установим ряд важных свойств градиента: пусть и
имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда
;
;
; Если
, то
; Если
— функция от одной переменной, имеющая производную, то
.
Доказательства всех этих свойств вполне аналогичны. Разберем, например, свойство (3). Пусть, для определенности, . Тогда, по правилам дифференцирования,
,
,
и
.
Пусть ,
. Найдем
.
Для часто встречающихся в физике радиальных функций согласно свойству (5) получаем:
.