Учись Как На Парах! Помощь студентам в учёбе
Рассмотрим спрямляемую (т. е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически 
, причем 
– непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.
Тогда длина кривой выражается формулой 
.
Под Разбиением T кривой AB будем понимать множество точек 
, лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть 
— длина кривой 
.
Диаметр D(T) определим как 
.
Пусть функция 
определена на кривой AB. Выберем на каждом участке 
кривой точку 
и образуем сумму 
, называемую Интегральной.
Определение. Пусть 
. Если 
, то величина I называется Криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так: 
.
Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B,
|
|
А от B к A, то в разбиении T с выбранными точками |
изменилась бы Только нумерация отрезков и точек 
.В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.
Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект — криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.
Теорема. Пусть 
— непрерывная на кривой AB функция (т. е. 
— точек кривой таких, что расстояние между 
меньше 
). Пусть кривая AB параметризована так: 
, где 
— непрерывные на 
функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда 
.
Теорему оставим Без доказательства.
Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины Dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.
Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 остальных:
при условии, что существуют 
и 
. Если AB, BC — кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то 
.
Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т. е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.