Рассмотрим спрямляемую (т. е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем
– непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.
Тогда длина кривой выражается формулой .
Под Разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть
— длина кривой
.
Диаметр D(T) определим как .
Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке
кривой точку
и образуем сумму
, называемую Интегральной.
Определение. Пусть . Если
, то величина I называется Криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так:
.
Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B,
А от B к A, то в разбиении T с выбранными точками |
В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.
Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект — криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.
Теорема. Пусть — непрерывная на кривой AB функция (т. е.
— точек кривой таких, что расстояние между
меньше
). Пусть кривая AB параметризована так:
, где
— непрерывные на
функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда
.
Теорему оставим Без доказательства.
Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины Dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.
Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 остальных:
при условии, что существуют
и
. Если AB, BC — кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то
.
Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т. е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.