При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).
По доказанной в §2 теореме 
ограничена на 
и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках 
, (т. е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим 
— точную верхнюю грань, а 
— точную нижнюю грань множества значений функции на , 
.
Определение. Числа 
и 
называются соответственно Верхней и Нижней Суммами Дарбу функции для разбиения T на отрезке .
Теорема. Верхняя сумма Дарбу 
представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу 
— точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек 
.
Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.
Во-первых, для любого 
и для любой точки 
имеет место неравенство 
(по определению ). Значит, 
(1).
Суммируя неравенства (1) по всем получаем 
. Т. е. 
— верхняя грань множества 
по всевозможным выборам .
Осталось доказать, что — Точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное 
. Поскольку — точная верхняя грань множества значений 
на отрезке 
, 
существует точка 
такая, что 
и 
(2).
Суммируя неравенства (2) по получаем, что 
, т. к. 
(суммарная длина отрезков, составляющих отрезок 
, равна длине этого отрезка).
Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки 
, что 
, что как раз и означает, что 
, где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.
Замечание. Отметим очевидность неравенства: 
.
Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению 
, представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.
Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого — верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.
Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек — это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.
Определение. Разбиение 
отрезка называется Продолжением разбиения 
(или Измельчением), если оно получено присоединением к новых точек деления.
(круглыми точками отмечены новые точки деления).
Теорема.
Если продолжает , то 
, 
(3). Для любых разбиений и имеет место неравенство: 
(4).
Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее 
, попала в интервал 
. Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.
Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:
Для верхней суммы Дарбу слагаемое 
заменяется на сумму 
, где 
— точная верхняя грань множества значений на 
, 
— на 
;
Для нижней суммы Дарбу слагаемое 
заменяется суммой 
, где 
— соответствующие точные нижние грани.
Очевидны неравенства: 
(точная верхняя грань множества значений на Части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений на Всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений на всем отрезке).
Поэтому 
, т. к. 
.
Аналогично, 
, т. к. 
.
Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из добавлением одной новой точки.
Если же таких новых точек — несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по Одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит, 
и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.
Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.
Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение 
, которое получается, когда мы берем все точки, входящие в и все точки, входящие в . Тогда — продолжение и . Но тогда 
. Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.