При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).
По доказанной в §2 теореме ограничена на
и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках
, (т. е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим
— точную верхнюю грань, а
— точную нижнюю грань множества значений функции
на
,
.
Определение. Числа и
называются соответственно Верхней и Нижней Суммами Дарбу функции
для разбиения T на отрезке
.
Теорема. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу
— точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек
.
Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.
Во-первых, для любого и для любой точки
имеет место неравенство
(по определению
). Значит,
(1).
Суммируя неравенства (1) по всем получаем
. Т. е.
— верхняя грань множества
по всевозможным выборам
.
Осталось доказать, что — Точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное
. Поскольку
— точная верхняя грань множества значений
на отрезке
,
существует точка
такая, что
и
(2).
Суммируя неравенства (2) по получаем, что
, т. к.
(суммарная длина отрезков, составляющих отрезок
, равна длине этого отрезка).
Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки
, что
, что как раз и означает, что
, где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек
. Теорема доказана.
Замечание. Отметим очевидность неравенства: .
Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.
Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого — верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.
Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек — это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.
Определение. Разбиение отрезка
называется Продолжением разбиения
(или Измельчением), если оно получено присоединением к
новых точек деления.
(круглыми точками отмечены новые точки деления).
Теорема.
Если продолжает
, то
,
(3). Для любых разбиений
и
имеет место неравенство:
(4).
Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к
одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее
, попала в интервал
. Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.
Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:
Для верхней суммы Дарбу слагаемое заменяется на сумму
, где
— точная верхняя грань множества значений
на
,
— на
;
Для нижней суммы Дарбу слагаемое заменяется суммой
, где
— соответствующие точные нижние грани.
Очевидны неравенства: (точная верхняя грань множества значений
на Части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений
на Всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений
на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений
на всем отрезке).
Поэтому
, т. к.
.
Аналогично,
, т. к.
.
Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из
добавлением одной новой точки.
Если же таких новых точек — несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по Одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит,
и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.
Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.
Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение , которое получается, когда мы берем все точки, входящие в
и все точки, входящие в
. Тогда
— продолжение
и
. Но тогда
. Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.