Главная / Математика / Маятник без трения вблизи нижнего и верхнего положения равновесия

Маятник без трения вблизи нижнего и верхнего положения равновесия

1. (маятник без трения вблизи нижнего положения равновесия). Вспомним задачу 1-15, т. е. автономную систему x΄1=x2, x΄2=-x1 (18). В задаче имелось в виду решать ее сведением к уравнению с разделяющимися переменными для фазовых кривых в декартовых координатах. Теперь мы применим к ней более элегантный способ. Вид поля фазовых скоростей подсказывает использование не декартовых, а полярных координат. Поэтому перейдем от искомых функций x1, x2 к r и j по формулам x1=r*cosj, x2=r*sinj (19). Подставляя эти выражения в (18), имеем r΄*cosj r*sinj*j΄=r*sinj, r΄*sinj+r*cosj*j΄=-r*cosj или r΄=0, y΄=-1. (20) это уже прямое произведение уравнений, и все решения легко находятся r=r0, j=-t+j0, (21) где r0³0, j0 — произвольные постоянные. Таким образом, на плоскости r, j фазовые линии представляют собой прямые (см. рис 1 стр.31), на плоскости x1, x2 – это начало координат и концентрические окружности с центром в начале координат (см. рис. 2 стр. 31). Все решения системы (18)в декартовых координатах даются формулами x1=r0*cos(t-j0), x2=-r0*sin(t-j0). (22)

2. (Маятник вблизи верхнего положения равновесия). Вернемся к задаче 1-16, т. е. к системе y΄1=y2, y΄2=y1. (23) Переход к полярным координатам здесь ничего не дает. Попробуем замену z1=y1+y2, z2=y1-y2. Она реализует поворот фазовой плоскости на 45° и подсказывается видом поля направлений. Получаем систему z΄1=z1, z΄2=-z2 (24)и – прямое произведение двух уравнений. Выписываем ее решение z1=c1*et, z2=c2*e-t (25). Отсюда фазовые кривые z1*z2=c1*c2: положение равновесия z1=z2=0 и гиперболы. Возвращаясь к координатам y1, y2, имеем

Y1 = y10*ch(t) + y20*sh(t), y2 – y10*sh(t) + y20*ch(t), (26) y²2 — y²1 = y²20 — y²10 (27).